Exercice 119

Calculer puis simplifier les expressions suivantes :

1. \(2 \cdot \left(5x^2\right) + 3 \cdot \left(4x^2\right)\)

2. \(6 \cdot \left(3a^3\right) - 2 \cdot \left(5a^3\right)\)

3. \(\left(6y^2\right) \cdot 9 + 12 \cdot \left(15y^2\right)\)

4. \(3a^2 \cdot 70 - 2 \cdot 4a^2 \cdot 5\)

5. \(6x^3 \cdot 8 + 13 \cdot 3x^3 - 18x^3\)

Réponse

Les réponses sont : 1) 22x², 2) 8a³, 3) 234y², 4) 170a², 5) 69x³.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression.

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1) Calcul de \(2 \cdot \left(5x^2 \right) + 3 \cdot \left(4x^2 \right)\)

Étape 1 : Effectuer les multiplications dans chacune des parenthèses
\[ 2 \cdot \left(5x^2\right) = 10x^2 \quad \text{et} \quad 3 \cdot \left(4x^2\right) = 12x^2 \]

Étape 2 : Additionner les deux termes obtenus
\[ 10x^2 + 12x^2 = (10 + 12)x^2 = 22x^2 \]

Conclusion : L’expression simplifiée est
\[ \boxed{22x^2} \]

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2) Calcul de \(6 \cdot \left(3a^3\right) - 2 \cdot \left(5a^3\right)\)

Étape 1 : Effectuer les multiplications
\[ 6 \cdot \left(3a^3\right) = 18a^3 \quad \text{et} \quad 2 \cdot \left(5a^3\right) = 10a^3 \]

Étape 2 : Soustraire le deuxième terme du premier
\[ 18a^3 - 10a^3 = (18 - 10)a^3 = 8a^3 \]

Conclusion : L’expression simplifiée est
\[ \boxed{8a^3} \]

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3) Calcul de \(\left(6y^2\right) \cdot 9 + 12 \cdot \left(15y^2\right)\)

Étape 1 : Effectuer les multiplications
\[ 6y^2 \cdot 9 = 54y^2 \quad \text{et} \quad 12 \cdot \left(15y^2\right) = 180y^2 \]

Étape 2 : Additionner les deux résultats
\[ 54y^2 + 180y^2 = (54 + 180)y^2 = 234y^2 \]

Conclusion : L’expression simplifiée est
\[ \boxed{234y^2} \]

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4) Calcul de \(3a^2 \cdot 70 - 2 \cdot 4a^2 \cdot 5\)

Étape 1 : Calculer chaque terme séparément
- Pour le premier terme :
\[ 3a^2 \cdot 70 = 210a^2 \] - Pour le deuxième terme, procéder par étapes :
\[ 2 \cdot 4a^2 = 8a^2 \quad \text{puis} \quad 8a^2 \cdot 5 = 40a^2 \]

Étape 2 : Effectuer la soustraction des deux termes
\[ 210a^2 - 40a^2 = (210 - 40)a^2 = 170a^2 \]

Conclusion : L’expression simplifiée est
\[ \boxed{170a^2} \]

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5) Calcul de \(6x^3 \cdot 8 + 13 \cdot 3x^3 - 18x^3\)

Étape 1 : Effectuer les multiplications
- Pour le premier terme :
\[ 6x^3 \cdot 8 = 48x^3 \] - Pour le deuxième terme :
\[ 13 \cdot 3x^3 = 39x^3 \] - Le troisième terme reste \(18x^3\).

Étape 2 : Ajouter puis soustraire les termes semblables
\[ 48x^3 + 39x^3 - 18x^3 = (48 + 39 - 18)x^3 \] Calculons la somme dans la parenthèse : \[ 48 + 39 = 87 \quad \text{et} \quad 87 - 18 = 69 \] Donc, \[ (48 + 39 - 18)x^3 = 69x^3 \]

Conclusion : L’expression simplifiée est
\[ \boxed{69x^3} \]

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Ces étapes montrent comment, en appliquant systématiquement les règles de la multiplication et de l’addition (ou soustraction) de termes semblables, on peut réduire chaque expression à sa forme simplifiée.