\[ \textbf{Exercice :} \]
Déterminez si les égalités suivantes sont des identités en simplifiant et en comparant les expressions obtenues :
\(\displaystyle 2x^{2} + 3x - x^{2} - 5x = 3x^{2} - 2x\)
\(\displaystyle 3y + 4y^{2} + 7y - 15y^{2} - 6y = 11y^{2} + 4y\)
\(\displaystyle 2a^{3} - a^{2} - 7a^{3} + 4a^{2} = -5a^{3} - 5a^{2}\)
\(\displaystyle -6x + 3 - 2x - 15 - 8x = -12\)
\(\displaystyle 4 - 3b + 2 - 5b - 3 = -2b + 3\)
\(\displaystyle 5y^{2} + 3 - 4y + 2y^{2} - 6 + 2y = 7y^{2} - 2y - 3\)
En résumé, seule la sixième égalité est une identité ; les cinq autres ne le sont pas.
Voici la correction détaillée de l’exercice :
Étape 1 : Regrouper les termes semblables sur le côté gauche.
\[ 2x^2 - x^2 = x^2 \]
\[ 3x - 5x = -2x \]
On obtient donc :
\[ x^2 - 2x \]
Étape 2 : Comparer avec le côté droit.
Le côté droit est :
\[ 3x^2 - 2x \]
Les deux expressions sont :
\[ \text{Gauche} : x^2 - 2x \quad \text{et} \quad \text{Droite} : 3x^2 - 2x \]
Étape 3 : Conclusion
Les expressions diffèrent par le terme en \(x^{2}\). Elles ne sont égales que si \(3x^2 - x^2 = 0\) ce qui n’est pas vrai pour tout \(x\).
\[ \boxed{\text{Ce n'est pas une identité.}} \]
Étape 1 : Regrouper les termes semblables sur le côté gauche.
\[ 4y^2 - 15y^2 = -11y^2 \]
\[ 3y + 7y - 6y = 4y \]
Donc, le côté gauche devient :
\[ -11y^2 + 4y \]
Étape 2 : Comparer avec le côté droit.
Le côté droit est :
\[ 11y^2 + 4y \]
Étape 3 : Conclusion
Les deux expressions diffèrent par le coefficient du terme en \(y^2\). Elles sont égales uniquement pour certaines valeurs de \(y\) (ici \(y = 0\)), mais pas pour tout \(y\).
\[ \boxed{\text{Ce n'est pas une identité.}} \]
Étape 1 : Regrouper les termes semblables sur le côté gauche.
\[ 2a^3 - 7a^3 = -5a^3 \]
\[ - a^2 + 4a^2 = 3a^2 \]
Le côté gauche simplifié est :
\[ -5a^3 + 3a^2 \]
Étape 2 : Comparer avec le côté droit.
Le côté droit est :
\[ -5a^3 - 5a^2 \]
Étape 3 : Conclusion
Les expressions ne sont pas identiques puisque les coefficients de \(a^2\) sont différents. Elles coïncident seulement pour la valeur particulière \(a=0\) mais pas pour tout \(a\).
\[ \boxed{\text{Ce n'est pas une identité.}} \]
Étape 1 : Regrouper les termes semblables sur le côté gauche.
\[ -6x - 2x - 8x = -16x \]
\[ 3 - 15 = -12 \]
On obtient :
\[ -16x - 12 \]
Étape 2 : Écrire l’équation simplifiée.
L’équation devient :
\[ -16x - 12 = -12 \]
Étape 3 : Résoudre si besoin.
On ajoute \(12\) des deux côtés :
\[ -16x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \]
Cela montre que l’égalité n’est vraie que pour \(x = 0\).
\[ \boxed{\text{Ce n'est pas une identité.}} \]
Étape 1 : Regrouper les termes semblables sur le côté gauche.
\[ 4 + 2 - 3 = 3 \]
\[ -3b - 5b = -8b \]
Donc, le côté gauche est :
\[ 3 - 8b \]
Étape 2 : Comparer avec le côté droit.
Le côté droit est :
\[ -2b + 3 \]
Étape 3 : Conclusion
Les expressions diffèrent par le coefficient du \(b\). Elles sont égales seulement pour une valeur particulière (ici \(b=0\)) et ne représentent donc pas une identité.
\[ \boxed{\text{Ce n'est pas une identité.}} \]
Étape 1 : Regrouper les termes semblables sur le côté gauche.
\[ 5y^2 + 2y^2 = 7y^2 \]
\[ -4y + 2y = -2y \]
\[ 3 - 6 = -3 \]
Le côté gauche devient alors :
\[ 7y^2 - 2y - 3 \]
Étape 2 : Comparer avec le côté droit.
Le côté droit est exactement :
\[ 7y^2 - 2y - 3 \]
Étape 3 : Conclusion
Les deux côtés sont identiques pour tout \(y\).
\[ \boxed{\text{C'est une identité.}} \]
\(\displaystyle 2x^{2} + 3x - x^{2} - 5x = 3x^{2} - 2x\) : Ce n’est pas une identité.
\(\displaystyle 3y + 4y^{2} + 7y - 15y^{2} - 6y = 11y^{2} + 4y\) : Ce n’est pas une identité.
\(\displaystyle 2a^{3} - a^{2} - 7a^{3} + 4a^{2} = -5a^{3} - 5a^{2}\) : Ce n’est pas une identité.
\(\displaystyle -6x + 3 - 2x - 15 - 8x = -12\) : Ce n’est pas une identité.
\(\displaystyle 4 - 3b + 2 - 5b - 3 = -2b + 3\) : Ce n’est pas une identité.
\(\displaystyle 5y^{2} + 3 - 4y + 2y^{2} - 6 + 2y = 7y^{2} - 2y - 3\) : C’est une identité.
En résumé, seule la sixième égalité est une identité.