Exercice 110

Exercice : Identités

Pour chaque égalité suivante, déterminer si elle est une identité.

1. \(4 a^{2} - a^{2} - 5a^{2} = -2 a^{2}\)
2. \(3 a^{3} - 5 a^{3} - 7a^{3} + a^{3} = -8 a^{3}\)
3. \(13 y^{2} - 14 y^{2} + 5 y^{2} - 17 y^{2} = -2 y^{2}\)
4. \(3 x^{2} + 4 x^{2} - x^{2} + 2 x^{2} - 5 x^{2} = 3 x^{2}\)
5. \(-2 b^{3} + 6 b^{3} - 3 b^{3} + b^{3} = 4 b^{3}\)
6. \(-4 a^{3} - 7 a^{3} + 15 a^{3} - 6 a^{3} = 6 a^{2}\)

Réponse

1. Identité
   
2. Identité
   
3. Pas une identité
   
4. Identité
   
5. Pas une identité
   
6. Pas une identité

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chaque égalité proposée :

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1. \(4a^2 - a^2 - 5a^2 = -2a^2\)

Étape 1 : Regrouper les termes semblables

Les termes \(4a^2\), \(-a^2\) et \(-5a^2\) sont tous des termes en \(a^2\).

Étape 2 : Additionner les coefficients

Additionnons les coefficients :

\[ 4 - 1 - 5 = -2 \]

Étape 3 : Exprimer le résultat

On obtient donc :

\[ (4 - 1 - 5)a^2 = -2a^2 \]

Conclusion : L’égalité est vraie pour tout \(a\), donc c’est une identité.

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2. \(3a^3 - 5a^3 - 7a^3 + a^3 = -8a^3\)

Étape 1 : Regrouper les termes semblables

Tous les termes sont en \(a^3\).

Étape 2 : Additionner les coefficients

Additionnons :

\[ 3 - 5 - 7 + 1 = (3 + 1) - (5 + 7) = 4 - 12 = -8 \]

Étape 3 : Exprimer le résultat

On a :

\[ -8a^3 \]

Conclusion : L’égalité est vérifiée pour tout \(a\), donc c’est une identité.

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3. \(13y^2 - 14y^2 + 5y^2 - 17y^2 = -2y^2\)

Étape 1 : Regrouper les termes semblables

Tous les termes sont en \(y^2\).

Étape 2 : Additionner les coefficients

Calculons :

\[ 13 - 14 + 5 - 17 = (13 + 5) - (14 + 17) = 18 - 31 = -13 \]

Étape 3 : Comparer avec le côté droit

Le côté gauche donne :

\[ -13y^2 \]

mais l’égalité proposée affirme \(-2y^2\).

Conclusion : L’égalité n’est pas vraie pour tout \(y\). Ce n’est pas une identité.

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4. \(3x^2 + 4x^2 - x^2 + 2x^2 - 5x^2 = 3x^2\)

Étape 1 : Regrouper les termes semblables

Tous les termes sont en \(x^2\).

Étape 2 : Additionner les coefficients

Additionnons :

\[ 3 + 4 - 1 + 2 - 5 = (3 + 4 + 2) - (1 + 5) = 9 - 6 = 3 \]

Étape 3 : Exprimer le résultat

On obtient :

\[ 3x^2 \]

Conclusion : L’égalité est vraie pour tout \(x\), donc c’est une identité.

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5. \(-2b^3 + 6b^3 - 3b^3 + b^3 = 4b^3\)

Étape 1 : Regrouper les termes semblables

Tous les termes sont en \(b^3\).

Étape 2 : Additionner les coefficients

Additionnons :

\[ -2 + 6 - 3 + 1 = (-2 - 3) + (6 + 1) = -5 + 7 = 2 \]

Étape 3 : Exprimer le résultat

On obtient :

\[ 2b^3 \]

Le côté droit de l’égalité proposé est \(4b^3\).

Conclusion : L’égalité n’est donc pas vraie pour tout \(b\). Ce n’est pas une identité.

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6. \(-4a^3 - 7a^3 + 15a^3 - 6a^3 = 6a^2\)

Étape 1 : Regrouper les termes semblables

Tous les termes du côté gauche sont en \(a^3\).

Étape 2 : Additionner les coefficients

Calculons :

\[ -4 - 7 + 15 - 6 = (-4 - 7) + (15 - 6) = -11 + 9 = -2 \]

Étape 3 : Exprimer le résultat

Le côté gauche devient :

\[ -2a^3 \]

Le côté droit de l’égalité est \(6a^2\).

Remarque sur les exposants :
Pour que deux expressions soient identiques pour tout \(a\), elles doivent avoir la même puissance de \(a\). Ici, le côté gauche est en \(a^3\) et le côté droit en \(a^2\).

Conclusion : L’égalité n’est pas vraie pour tout \(a\). Ce n’est pas une identité.

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Récapitulatif des réponses :

1. Identité
   
2. Identité
   
3. Pas une identité
   
4. Identité
   
5. Pas une identité
   
6. Pas une identité

Chaque correction a permis de vérifier en regroupant les termes et en comparant le résultat obtenu avec le deuxième membre de l’égalité.