Exercice
Pour chacune des égalités suivantes, déterminez si elle constitue une identité :
Réponses :
1. Identité
2. Non identité
3. Non identité
4. Non identité
5. Identité
6. Identité
Voici la correction détaillée pour chacune des égalités données :
\[ a + a - b + a - b - a + b = 2a - b \]
Étape 1 : Regrouper les termes semblables
Termes en \(a\) : \[ a + a + a - a = (1+1+1-1)a = 2a \]
Termes en \(b\) : \[ -b - b + b = (-1-1+1)b = -b \]
Étape 2 : Écrire l’expression simplifiée
On obtient alors : \[ 2a - b \]
Conclusion :
L’expression simplifiée de la gauche est identique à la droite \(\,2a - b\).
Cette égalité est donc une identité.
\[ 2b - b + 3b - 4b = b \]
Étape 1 : Regrouper les termes en \(b\)
Additionnons les coefficients : \[ 2 - 1 + 3 - 4 = 0 \]
Ce qui donne : \[ 0 \cdot b = 0 \]
Étape 2 : Comparer avec la droite
La partie gauche simplifie en \(0\) et la droite est \(b\).
Conclusion :
L’égalité \(0 = b\) n’est vraie que
pour \(b = 0\) et non pour tous les
\(b\).
Cette égalité n’est pas une identité.
\[ 3x - 4y - 7y = 3x - 12y \]
Étape 1 : Regrouper les termes en \(y\)
\[ -4y - 7y = -11y \]
Ainsi, l’expression devient : \[ 3x - 11y \]
Étape 2 : Comparer avec la droite
La droite est \(3x - 12y\).
Conclusion :
Puisque \(-11y \neq -12y\) pour une
valeur quelconque de \(y\),
cette égalité n’est pas une identité.
\[ 4a + 5b + 3a - b + 6a = 12a + 4b \]
Étape 1 : Regrouper les termes semblables
Termes en \(a\) : \[ 4a + 3a + 6a = (4+3+6)a = 13a \]
Termes en \(b\) : \[ 5b - b = (5-1)b = 4b \]
L’expression devient : \[ 13a + 4b \]
Étape 2 : Comparer avec la droite
La droite est \(12a + 4b\).
Conclusion :
Comme \(13a \neq 12a\) pour toutes les
valeurs possibles de \(a\),
cette égalité n’est pas une identité.
\[ 17x - 4y - 5y + 7x + 14y - 20x = 4x + 5y \]
Étape 1 : Regrouper les termes en \(x\)
\[ 17x + 7x - 20x = (17+7-20)x = 4x \]
Étape 2 : Regrouper les termes en \(y\)
\[ -4y -5y + 14y = (-4-5+14)y = 5y \]
Ainsi, l’expression se simplifie en : \[ 4x + 5y \]
Conclusion :
La gauche est identiquement égale à la droite \(4x + 5y\).
Cette égalité est donc une identité.
\[ -4b + 3a - b - 5a + 8b = -2a + 3b \]
Étape 1 : Regrouper les termes semblables
Termes en \(a\) : \[ 3a - 5a = -2a \]
Termes en \(b\) : \[ -4b - b + 8b = (-4-1+8)b = 3b \]
L’expression devient : \[ -2a + 3b \]
Étape 2 : Comparer avec la droite
La droite est également \(-2a + 3b\).
Conclusion :
La gauche est identique à la droite.
Cette égalité est donc une identité.
Cette démarche permet de vérifier pour chaque égalité d’une part que les termes ont été correctement regroupés et d’autre part que les expressions de part et d’autre sont équivalentes pour toutes les valeurs des variables.