Calculer la valeur de \[ \frac{4xy-3xz+2}{x-y-xz} \] lorsque :
\(x=-\frac{1}{3}\), \(y=-\frac{1}{2}\), \(z=-\frac{2}{3}\)
\(x=\frac{1}{5}\), \(y=-\frac{1}{4}\), \(z=\frac{5}{3}\)
Pour x = –1/3, y = –1/2, z = –2/3, l’expression vaut –36 et pour x = 1/5, y = –1/4, z = 5/3, elle vaut 48/7.
Nous devons calculer l’expression
\[ \frac{4xy-3xz+2}{x-y-xz} \]
pour deux ensembles de valeurs de \(x\), \(y\) et \(z\). Nous allons procéder par étapes en substituant les valeurs données dans le numérateur et le dénominateur, puis en simplifiant.
Le numérateur est :
\[ 4xy - 3xz + 2. \]
1.1. Calcul de \(4xy\) :
\[ 4xy = 4 \times \left(-\frac{1}{3}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right). \]
1.2. Calcul de \(-3xz\) :
\[ -3xz = -3 \times \left(-\frac{1}{3}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right). \]
1.3. Ajout de la constante \(+2\).
Ainsi, le numérateur devient :
\[ \frac{2}{3} + \left(-\frac{2}{3}\right) + 2. \]
On remarque que \(\frac{2}{3} - \frac{2}{3}=0\). Il reste donc :
\[ 0+2=2. \]
Le dénominateur est :
\[ x - y - xz. \]
2.1. Calcul de \(x-y\) :
\[ x - y = \left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{1}{2}\right)= -\frac{1}{3}+ \frac{1}{2}. \]
Pour additionner, mettons sur le même dénominateur. Le PPCM de 3 et 2 est 6 :
\[ -\frac{1}{3} = -\frac{2}{6}, \qquad \frac{1}{2}=\frac{3}{6}. \]
Ainsi :
\[ -\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{1}{6}. \]
2.2. Calcul de \(xz\) :
\[ xz = \left(-\frac{1}{3}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{9}. \]
2.3. On soustrait \(xz\) :
\[ x-y-xz = \frac{1}{6}-\frac{2}{9}. \]
Pour soustraire, trouvons un dénominateur commun, ici 18 :
\[ \frac{1}{6}=\frac{3}{18}, \qquad \frac{2}{9}=\frac{4}{18}. \]
Donc :
\[ \frac{3}{18}-\frac{4}{18}=-\frac{1}{18}. \]
Nous avons obtenu :
La fraction est donc :
\[ \frac{2}{-\frac{1}{18}}. \]
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[ \frac{2}{-\frac{1}{18}} = 2 \times \left(-18\right) = -36. \]
Donc, pour le cas 1, la valeur est \(-36\).
Le numérateur reste :
\[ 4xy - 3xz + 2. \]
1.1. Calcul de \(4xy\) :
\[ 4xy = 4 \times \frac{1}{5} \times \left(-\frac{1}{4}\right). \]
1.2. Calcul de \(-3xz\) :
\[ -3xz = -3 \times \frac{1}{5} \times \frac{5}{3}. \]
Calculons \(xz\) :
\[ xz = \frac{1}{5}\times\frac{5}{3}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}. \]
Ainsi :
\[ -3xz = -3 \times \frac{1}{3}=-1. \]
1.3. Ajout de la constante \(+2\).
Ainsi, le numérateur est :
\[ -\frac{1}{5} -1 +2. \]
On peut regrouper : - \(-1+2=1\), donc :
\[ 1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5}-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}. \]
Le dénominateur est :
\[ x - y - xz. \]
2.1. Calcul de \(x-y\) :
\[ x - y = \frac{1}{5} - \left(-\frac{1}{4}\right)= \frac{1}{5}+\frac{1}{4}. \]
Pour additionner, mettons sur un même dénominateur. Le PPCM de 5 et 4 est 20 :
\[ \frac{1}{5} = \frac{4}{20}, \qquad \frac{1}{4}=\frac{5}{20}. \]
Donc :
\[ \frac{4}{20}+\frac{5}{20}=\frac{9}{20}. \]
2.2. Calcul de \(xz\) :
Nous avons déjà trouvé :
\[ xz = \frac{1}{3}. \]
2.3. Ainsi, le dénominateur devient :
\[ x-y-xz = \frac{9}{20}-\frac{1}{3}. \]
Pour soustraire, trouvons un dénominateur commun. Le PPCM de 20 et 3 est 60 :
\[ \frac{9}{20}=\frac{27}{60}, \qquad \frac{1}{3}=\frac{20}{60}. \]
Donc :
\[ \frac{27}{60}-\frac{20}{60}=\frac{7}{60}. \]
Nous avons :
La fraction est :
\[ \frac{\frac{4}{5}}{\frac{7}{60}}. \]
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse, donc :
\[ \frac{4}{5} \times \frac{60}{7}. \]
Calculons :
\[ \frac{4 \times 60}{5 \times 7} = \frac{240}{35}. \]
On peut simplifier en divisant le numérateur et le dénominateur par 5 :
\[ \frac{240 \div 5}{35 \div 5}=\frac{48}{7}. \]
Donc, pour le cas 2, la valeur est \(\frac{48}{7}\).
Pour \(x=-\frac{1}{3}\), \(y=-\frac{1}{2}\), \(z=-\frac{2}{3}\) : la valeur de l’expression est \(-36\).
Pour \(x=\frac{1}{5}\), \(y=-\frac{1}{4}\), \(z=\frac{5}{3}\) : la valeur de l’expression est \(\frac{48}{7}\).