Calculer la valeur de l’expression \[ -5x^5 + 3x^4 - 7x^3 + 2x^2 - x + 15 \] pour les valeurs suivantes de \(x\) :
Réponses : • P(–1) = 33
• P(–2) = 289
• P(3) = –1131
• P(–10) = 537 225
Nous avons l’expression suivante : \[ P(x) = -5x^5 + 3x^4 - 7x^3 + 2x^2 - x + 15 \] Nous allons calculer \(P(x)\) pour différentes valeurs de \(x\).
Étape 1 : Remplacer \(x\) par \(-1\) \[ P(-1) = -5(-1)^5 + 3(-1)^4 - 7(-1)^3 + 2(-1)^2 - (-1) + 15 \]
Étape 2 : Calculer chacune des puissances - \((-1)^5 = -1\) - \((-1)^4 = 1\) - \((-1)^3 = -1\) - \((-1)^2 = 1\)
Étape 3 : Remplacer dans l’expression \[ \begin{aligned} P(-1) &= -5 \times (-1) + 3 \times 1 - 7 \times (-1) + 2 \times 1 + 1 + 15\\[1mm] &= 5 + 3 + 7 + 2 + 1 + 15 \end{aligned} \]
Étape 4 : Additionner les termes \[ 5 + 3 = 8,\quad 8 + 7 = 15,\quad 15 + 2 = 17,\quad 17 + 1 = 18,\quad 18 + 15 = 33. \]
Conclusion \[ P(-1) = 33. \]
Étape 1 : Remplacer \(x\) par \(-2\) \[ P(-2) = -5(-2)^5 + 3(-2)^4 - 7(-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) + 15 \]
Étape 2 : Calculer les puissances - \((-2)^5 = -32\) - \((-2)^4 = 16\) - \((-2)^3 = -8\) - \((-2)^2 = 4\)
Étape 3 : Remplacer dans l’expression \[ \begin{aligned} P(-2) &= -5 \times (-32) + 3 \times 16 - 7 \times (-8) + 2 \times 4 + 2 + 15\\[1mm] &= 160 + 48 + 56 + 8 + 2 + 15. \end{aligned} \]
Étape 4 : Additionner les termes \[ 160 + 48 = 208,\quad 208 + 56 = 264,\quad 264 + 8 = 272,\quad 272 + 2 = 274,\quad 274 + 15 = 289. \]
Conclusion \[ P(-2) = 289. \]
Étape 1 : Remplacer \(x\) par \(3\) \[ P(3) = -5(3)^5 + 3(3)^4 - 7(3)^3 + 2(3)^2 - 3 + 15 \]
Étape 2 : Calculer les puissances - \(3^5 = 243\) - \(3^4 = 81\) - \(3^3 = 27\) - \(3^2 = 9\)
Étape 3 : Remplacer dans l’expression \[ \begin{aligned} P(3) &= -5 \times 243 + 3 \times 81 - 7 \times 27 + 2 \times 9 - 3 + 15\\[1mm] &= -1215 + 243 - 189 + 18 - 3 + 15. \end{aligned} \]
Étape 4 : Additionner les termes \[ -1215 + 243 = -972,\quad -972 -189 = -1161,\quad -1161 + 18 = -1143,\quad -1143 - 3 = -1146,\quad -1146 + 15 = -1131. \]
Conclusion \[ P(3) = -1131. \]
Étape 1 : Remplacer \(x\) par \(-10\) \[ P(-10) = -5(-10)^5 + 3(-10)^4 - 7(-10)^3 + 2(-10)^2 - (-10) + 15 \]
Étape 2 : Calculer les puissances - \((-10)^5 = -100\,000\) - \((-10)^4 = 10\,000\) - \((-10)^3 = -1\,000\) - \((-10)^2 = 100\)
Étape 3 : Remplacer dans l’expression \[ \begin{aligned} P(-10) &= -5 \times (-100\,000) + 3 \times 10\,000 - 7 \times (-1\,000) + 2 \times 100 + 10 + 15\\[1mm] &= 500\,000 + 30\,000 + 7\,000 + 200 + 10 + 15. \end{aligned} \]
Étape 4 : Additionner les termes \[ 500\,000 + 30\,000 = 530\,000,\quad 530\,000 + 7\,000 = 537\,000,\quad 537\,000 + 200 = 537\,200,\quad 537\,200 + 10 = 537\,210,\quad 537\,210 + 15 = 537\,225. \]
Conclusion \[ P(-10) = 537\,225. \]
Chaque étape a permis de remplacer la valeur donnée de \(x\), d’évaluer les puissances, de calculer chaque terme de l’expression et finalement de sommer le tout pour obtenir la valeur finale.