Exercice
Réponse très courte :
On a trouvé : R = 4, S = 1, A = 0, V = 9, I = 2, N = 5, L = 3, E = 7, T = 8, C = 6.
En remplaçant les chiffres par ces lettres, le message est
:
LE TRAVAIL, C’EST LA SANTÉ.
Voici la solution détaillée en plusieurs étapes.
On cherche à trouver quel nombre remplace chaque lettre pour que chacune des égalités soit vraie.
Nous avons : \[
31 + 3\cdot (12 + 2R) - 56 = 35.
\] 1. Développons la parenthèse :
\(3\cdot (12 + 2R) = 36 + 6R\).
L’équation devient : \[ 31 + 36 + 6R - 56 = 35. \]
Regroupons les constantes :
\(31 + 36 - 56 = 11\).
On obtient donc : \[
11 + 6R = 35.
\]
Soustrayons 11 des deux côtés : \[ 6R = 35 - 11 = 24. \]
Divisons par 6 : \[ R = \frac{24}{6} = 4. \]
On part de : \[ \frac{\left(\frac{117}{S} + 27\right)}{8} + 18 = 36. \]
Isolez le terme fractionnaire en soustrayant 18 : \[ \frac{\frac{117}{S} + 27}{8} = 36 - 18 = 18. \]
Multiplions ensuite par 8 : \[ \frac{117}{S} + 27 = 18 \times 8 = 144. \]
Soustrayons 27 : \[ \frac{117}{S} = 144 - 27 = 117. \]
Ainsi,
\[
\frac{117}{S} = 117 \quad\Longrightarrow\quad S = \frac{117}{117} = 1.
\]
L’équation est : \[ \Bigl[4 + 2\cdot (2 + 3A) + 12\Bigr] \cdot 3 - 45 = 15. \]
Calculez \(2\cdot (2 + 3A)\)
:
\(2\cdot 2 + 2\cdot 3A = 4 +
6A\).
Le contenu des crochets devient : \[ 4 + (4+6A) + 12 = 20 + 6A. \]
Multiplions par 3 : \[ 3\cdot (20 + 6A) = 60 + 18A. \]
L’équation se transforme en : \[ 60 + 18A - 45 = 15. \]
Regroupons : \[ 15 + 18A = 15. \]
Soustrayons 15 : \[ 18A = 0 \quad\Longrightarrow\quad A = 0. \]
L’équation donnée est : \[ 35 - 3\cdot (2V - 17) = 32. \]
Développons :
\(3\cdot (2V-17) = 6V -
51\).
L’équation devient : \[ 35 - 6V + 51 = 32. \]
Regroupons les constantes :
\(35 + 51 = 86\).
Alors : \[
86 - 6V = 32.
\]
Soustrayez 86 : \[ -6V = 32 - 86 = -54. \]
Divisez par \(-6\) : \[ V = \frac{-54}{-6} = 9. \]
On a : \[ 5\cdot \Bigl[3\cdot (5I-6) + 14\Bigr] = 130. \]
Calculez \(3\cdot (5I-6) = 15I - 18\).
La parenthèse devient : \[ 15I -18 + 14 = 15I - 4. \]
Ainsi : \[ 5(15I-4) = 130. \]
Développez : \[ 75I - 20 = 130. \]
Ajoutez 20 : \[ 75I = 150. \]
Divisez par 75 : \[ I = \frac{150}{75} = 2. \]
L’équation est : \[ (120 - 5N + 2)\cdot 2 + 10 = 204. \]
Regroupons dans la parenthèse :
\(120 + 2 = 122\).
Donc : \(122 - 5N\).
Multiplions par 2 : \[ 2(122-5N) = 244 - 10N. \]
On a alors : \[ 244 - 10N + 10 = 204. \]
Regroupons :
\(244 + 10 = 254\).
L’équation devient : \[
254 - 10N = 204.
\]
Soustrayez 254 : \[ -10N = 204 - 254 = -50. \]
Divisez par \(-10\) : \[ N = \frac{-50}{-10} = 5. \]
Nous avons : \[ (72 - 3L - 15)\cdot 2 + 3\cdot 5 = 111. \]
Simplifions l’intérieur de la parenthèse :
\(72 - 15 = 57\), donc
\(57 - 3L\).
Multiplions par 2 : \[ 2(57-3L) = 114 - 6L. \]
Calculons \(3\cdot 5 = 15\) et ajoutons : \[ 114 - 6L + 15 = 129 - 6L. \]
L’équation devient : \[ 129 - 6L = 111. \]
Soustrayons 129 : \[ -6L = 111 - 129 = -18. \]
Divisons par \(-6\) : \[ L = \frac{-18}{-6} = 3. \]
L’équation est la suivante : \[ 3\cdot (23 - 2E) + 18 - 12 = 33. \]
Commencez par simplifier \(18-12 = 6\), ce qui donne : \[ 3\cdot (23 - 2E) + 6 = 33. \]
Développons :
\(3\cdot 23 = 69\) et \(3\cdot 2E = 6E\).
Donc : \[
69 - 6E + 6 = 75 - 6E = 33.
\]
Soustrayez 75 : \[ -6E = 33 - 75 = -42. \]
Divisez par \(-6\) : \[ E = \frac{-42}{-6} = 7. \]
L’égalité est : \[ 5\cdot (7 + T) - 4\cdot (6 - 3\cdot 2) + 4 = 79. \]
Calculez d’abord \(3 \cdot 2 =
6\), puis
\(6 - 6 = 0\) pour le second terme,
donc
\(4\cdot 0 = 0\).
L’équation se simplifie en : \[ 5\cdot (7 + T) + 4 = 79. \]
Développons \(5\cdot (7+T)\)
:
\(5\cdot 7 = 35\) et \(5\cdot T = 5T\).
On a : \[
35 + 5T + 4 = 79.
\]
Sommation des constantes :
\(35 + 4 = 39\), donc : \[
39 + 5T = 79.
\]
Soustrayez 39 : \[ 5T = 79 - 39 = 40. \]
Divisez par 5 : \[ T = \frac{40}{5} = 8. \]
Nous résolvons l’équation : \[ (C + 2)^2 - 6^2 = 28. \]
On reconnaît que \(6^2 = 36\), donc : \[ (C + 2)^2 - 36 = 28. \]
Isolons \((C+2)^2\) :
\((C + 2)^2 = 28 + 36 =
64.\)
Pour que le carré d’un nombre soit 64, on a :
\(C+2 = 8\) ou \(C+2 = -8\).
Choisissant la solution positive (correspondant généralement au
contexte de l’exercice) :
\(C + 2 = 8\)
donc
\(C = 8 - 2 = 6.\)
On vous demande de remplacer chaque chiffre par la lettre correspondante. La correspondance se déduit des valeurs trouvées précédemment. Pour faciliter la lecture, établissons la table suivante :
| Chiffre | Lettre |
|---|---|
| 0 | A |
| 1 | S |
| 2 | I |
| 3 | L |
| 4 | R |
| 5 | N |
| 6 | C |
| 7 | E |
| 8 | T |
| 9 | V |
Le message à décoder est : \[ 378409023,67183010587. \]
Décodons-le en remplaçant chiffre par lettre :
Cela donne : LET RAVAIL. En le séparant correctement, on obtient : \[ \textbf{LE TRAVAIL}. \]
Cela donne : CESTLASANTE. En ajoutant l’apostrophe pour former la locution usuelle, on obtient : \[ \textbf{C'EST LA SANTÉ}. \]
Les solutions de l’exercice sont :
a) Valeurs des lettres : - \(R = 4\) - \(S = 1\) - \(A = 0\) - \(V = 9\) - \(I = 2\) - \(N = 5\) - \(L = 3\) - \(E = 7\) - \(T = 8\) - \(C = 6\)
b) Message déchiffré :
\[ \textbf{LE TRAVAIL, C'EST LA SANTÉ} \]
Cette correction détaillée démontre étape par étape le raisonnement nécessaire pour parvenir aux bonnes réponses.