Exercice 54

Léa a inscrit les égalités suivantes dans son cahier :

\(2p + 5p = 7p\)
\(y - 3 = 2\)
\(k + m = k + n\)
\(4t + 4 = 4(t + 1)\)
\(3q - 5 = 10\)
\(r + s = s + r\)
\((2u)^2 = 4u^2\)
\(12 = w^2 - 3\)

En mathématiques, une égalité relie deux expressions à l’aide du symbole \(=\) et se lit dans les deux sens. Une équation est une égalité conditionnelle contenant une ou plusieurs inconnues et n’est vérifiée que pour certaines valeurs, appelées solutions. Par exemple, l’équation \[ x^2 - 4 = 0 \] n’est vraie que pour \(x = -2\) et \(x = 2\).

Analysez chacune des écritures ci-dessus pour déterminer si elle représente simplement une égalité générale ou une équation conditionnelle.

Réponse

Réponse : a), d), f) et g) sont des égalités générales (toujours vraies), tandis que b), c), e) et h) sont des équations conditionnelles (vraies seulement pour certaines valeurs).

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en plusieurs étapes pour analyser chacune des écritures :

Rappel

Égalité générale : C’est une égalité qui est vraie pour toutes les valeurs possibles des variables.
Équation conditionnelle : C’est une égalité qui n’est vraie que pour certaines valeurs particulières des inconnues (les solutions).

Analyse des écritures

a) \(2p + 5p = 7p\)

Étape 1 : On additionne les termes semblables dans l’expression de gauche :
\[ 2p + 5p = (2+5)p = 7p. \]
Conclusion : L’égalité se simplifie en \(7p = 7p\), ce qui est toujours vrai pour tout \(p\).
C’est donc une égalité générale.

b) \(y - 3 = 2\)

Étape 1 : Ici, l’inconnue est \(y\).
Étape 2 : Pour trouver la valeur de \(y\), on ajoute 3 des deux côtés :
\[ y = 2 + 3 = 5. \]
Conclusion : L’égalité est vraie uniquement pour \(y = 5\).
C’est donc une équation conditionnelle.

c) \(k + m = k + n\)

Étape 1 : On remarque que \(k\) apparaît des deux côtés.
Étape 2 : En soustrayant \(k\) des deux côtés, on obtient :
\[ m = n. \]
Conclusion : L’égalité ne sera vraie que si \(m\) et \(n\) sont égaux.
C’est donc une équation conditionnelle.

d) \(4t + 4 = 4(t + 1)\)

Étape 1 : On développe le membre de droite :
\[ 4(t+1) = 4t + 4. \]
Étape 2 : On constate alors que le membre de gauche est identique :
\[ 4t + 4 = 4t + 4. \]
Conclusion : L’égalité est toujours vraie, quelle que soit la valeur de \(t\).
C’est donc une égalité générale.

e) \(3q - 5 = 10\)

Étape 1 : Ici, \(q\) est l’inconnue.
Étape 2 : Pour isoler \(q\), on ajoute 5 de chaque côté :
\[ 3q = 10 + 5 = 15. \]
Étape 3 : On divise ensuite par 3 :
\[ q = \frac{15}{3} = 5. \]
Conclusion : L’égalité est vraie uniquement pour \(q = 5\).
C’est donc une équation conditionnelle.

f) \(r + s = s + r\)

Étape 1 : Cette écriture utilise la propriété commutative de l’addition qui dit que l’ordre des termes n’affecte pas le résultat.
Conclusion : L’égalité est vraie pour toutes les valeurs possibles de \(r\) et \(s\).
C’est donc une égalité générale.

g) \((2u)^2 = 4u^2\)

Étape 1 : On calcule \((2u)^2\) en élevant 2u au carré :
\[ (2u)^2 = 2^2 \cdot u^2 = 4u^2. \]
Conclusion : L’égalité se réduit à \(4u^2 = 4u^2\), ce qui est toujours vrai, quel que soit \(u\).
C’est donc une égalité générale.

h) \(12 = w^2 - 3\)

Étape 1 : Ici, \(w\) est l’inconnue.
Étape 2 : Pour trouver \(w\), on peut isoler \(w^2\) en ajoutant 3 de chaque côté :
\[ w^2 = 12 + 3 = 15. \]
Conclusion : L’égalité est vraie uniquement pour les \(w\) qui vérifient \(w^2 = 15\).
C’est donc une équation conditionnelle.

Récapitulatif

Égalités générales : a), d), f), g).
Équations conditionnelles : b), c), e), h).

Cette démarche permet de distinguer clairement quelles écritures sont des égalités toujours vraies et lesquelles sont des équations nécessitant de déterminer une ou plusieurs solutions.