Exercice
Pour chaque paire d’expressions littérales suivantes, déterminez si elles sont équivalentes. Justifiez votre réponse.
\(7(x+y)\) et \(7x+7y\)
\(5(2p+3q)\) et \(10p+15q\)
\((x-y)^2\) et \(x^2-2xy+y^2\)
\((2a+3b)(2a-3b)\) et \(4a^2-9b^2\)
\(k(l+m)-k(l-m)\) et \(2km\)
\((3xy)^2\) et \(9x^2y^2\)
\((yz)^3\) et \(y^3z^3\)
\((p^q)^r\) et \(p^{qr}\)
\(\sqrt{c^2+d^2}\) et \(\sqrt{c^2}+\sqrt{d^2}\)
Réponses : a) équivalentes
b) équivalentes
c) équivalentes
d) équivalentes
e) équivalentes
f) équivalentes
g) équivalentes
h) équivalentes
i) non équivalentes
Voici la correction détaillée pour chaque paire d’expressions littérales :
Étape 1 : Appliquer la distributivité
On utilise la propriété distributive :
\[
7(x+y) = 7 \times x + 7 \times y = 7x+7y.
\]
Conclusion
Les deux expressions sont équivalentes.
Étape 1 : Appliquer la distributivité
Multipliant 5 par chaque terme à l’intérieur de la parenthèse, on
obtient :
\[
5(2p+3q) = 5 \times 2p + 5 \times 3q = 10p + 15q.
\]
Conclusion
Les deux expressions sont équivalentes.
Étape 1 : Développer le carré d’une différence
Le développement de \((x-y)^2\) se
fait par la formule :
\[
(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2.
\]
Conclusion
Les deux expressions sont équivalentes.
Étape 1 : Reconnaître le produit de deux conjugés
La formule du produit de deux conjugés est :
\[
(A + B)(A - B) = A^2 - B^2.
\]
Ici, \(A=2a\) et \(B=3b\). Ainsi :
\[
(2a+3b)(2a-3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2.
\]
Conclusion
Les deux expressions sont équivalentes.
Étape 1 : Factoriser le terme commun
Factorisons \(k\) :
\[
k(l+m)-k(l-m)= k\Big[(l+m)-(l-m)\Big].
\]
Étape 2 : Simplifier l’expression
Calculons ce qui est à l’intérieur de la parenthèse :
\[
(l+m)-(l-m)= l+m-l+m= 2m.
\]
Ainsi,
\[
k\Big[(l+m)-(l-m)\Big] = k(2m) = 2km.
\]
Conclusion
Les deux expressions sont équivalentes.
Étape 1 : Appliquer la règle de l’exposant sur un produit
On a :
\[
(3xy)^2 = 3^2 \cdot x^2 \cdot y^2 = 9x^2y^2.
\]
Conclusion
Les deux expressions sont équivalentes.
Étape 1 : Utiliser la propriété des puissances sur un produit
La règle est :
\[
(yz)^3 = y^3z^3.
\]
Conclusion
Les deux expressions sont équivalentes.
Étape 1 : Appliquer la règle de la puissance d’une puissance
Règle :
\[
(p^q)^r = p^{q \times r} = p^{qr}.
\]
Conclusion
Les deux expressions sont équivalentes.
Étape 1 : Examiner les deux expressions
La première expression est :
\[
\sqrt{c^2+d^2},
\] ce qui représente la racine carrée de la somme des carrés de
\(c\) et \(d\).
La deuxième expression est :
\[
\sqrt{c^2}+\sqrt{d^2}.
\] Or, on sait que \(\sqrt{c^2} =
|c|\) et \(\sqrt{d^2}=
|d|\).
Étape 2 : Comparer avec un contre-exemple
Prenons \(c=1\) et \(d=1\).
- Pour la première expression :
\[
\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.
\] - Pour la deuxième expression :
\[
\sqrt{1^2}+\sqrt{1^2} = 1+1=2.
\]
Or, \(\sqrt{2} \neq 2\). Ainsi, les deux expressions ne donnent pas toujours le même résultat.
Conclusion
Les deux expressions ne sont pas équivalentes.
Chaque cas a été justifié en détaillant les opérations utilisées et en vérifiant, pour certains, avec un exemple numérique.