Exercice 51
Exercice
1 : Identifier les erreurs commises par Marie‑Louise
Pour chacune des égalités suivantes, indiquez l’erreur éventuelle
commise.
a) \(2m + 5m = 7m\)
b) \(4(a+3) = 4a + 3\)
c) \(2y \cdot y^2 = 2y^3\)
d) \(7z - 2 = 5z\)
e) \(8k - 5k = 3k\)
f) \(x \cdot x^4 = x^5\)
g) \((3p)^2 = 6p^2\)
h) \(2(q-4) = 2q - 4\)
i) \(3r + r = 3r^2\)
j) \(5x - x = 5\)
k) \(3 + 3d + 3 = 3d + 8\)
l) \((n+2)^2 = n^2 + 4\)
m) \(1{,}5w + w = 2{,}5w\)
n) \(4p \cdot 3q = 12p^2q\)
Exercice
2 : Effectuer et réduire les expressions littérales
a) \(7x - 2x =\)
b) \((3x - 4) \cdot 2x =\)
c) \((4m \cdot 2n) \cdot 5 =\)
d) \((5y + 7) - (3y - 2) =\)
e) \(2c^3 - 5c^3 =\)
f) \(\bigl(d^2\bigr)^3 =\)
g) \(-4x^2 - 4x^2 \cdot 5 =\)
h) \(\bigl(-3y\bigr)^3 =\)
i) \((8x - 3z) + (5z + 8x) =\)
j) \(x^2 \cdot x^3 =\)
k) \((2x - 6)(4x + 5) =\)
l) \(6x^2 - 5x - 4x^2 - 7x =\)
Exercice 3 : Effectuer et/ou
réduire
a) \((3x)^2 =\)
b) \(7y \cdot 2y =\)
c) \(4x + 5x =\)
d) \(z \cdot (3z) =\)
e) \(6w^3 + 2w^3 =\)
f) \(3x \cdot 4x \cdot x =\)
g) \((2xy)^2 =\)
h) \(5m^2 - 3 + 2m^2 - 4 =\)
i) \((-2t)^2 =\)
j) \(9x - (4 - 2x) =\)
k) \(3ab + 6ab =\)
l) \(-8p + (-2p) =\)
m) \((4xy)(3xy) =\)
n) \(x + z + x + z - z =\)
o) \(8x + 3x - 5x - 2x =\)
p) \(-3s^2 - 4s^2 + 8s^2 =\)
q) \((-3uv)^2 =\)
r) \(y - \bigl[2y + (3 - y)\bigr]
=\)
s) \((3z)^3 \cdot 0{,}5z =\)
t) \(2x^2 + 5xy + 4x^2 - 3xy =\)
Réponse
Voici la synthèse très courte de la correction en français :
Exercice 1 – Identification des erreurs : a) 2m + 5m = 7m → Correct.
b) 4(a + 3) doit donner 4a + 12 (erreur sur le 3). c) 2y · y² = 2y³ →
Correct. d) 7z – 2 = 5z n’est vrai que pour z = 1 (erreur, le –2 ne
disparaît pas). e) 8k – 5k = 3k → Correct. f) x · x⁴ = x⁵ → Correct.
g) (3p)² doit donner 9p² (erreur sur le coefficient). h) 2(q – 4) doit
donner 2q – 8 (erreur de distribution). i) 3r + r = 4r (erreur : on ne
change pas l’exposant). j) 5x – x = 4x (la variable a été oubliée dans
5). k) 3 + 3d + 3 = 3d + 6 (erreur sur la somme des constantes). l) (n
+ 2)² = n² + 4n + 4 (erreur, le terme 4n a été omis). m) 1,5w + w =
2,5w → Correct. n) 4p · 3q = 12pq (erreur : il ne faut pas écrire
p²q).
Exercice 2 – Expressions réduites : a) 7x – 2x = 5x b) (3x – 4)·2x
= 6x² – 8x c) (4m·2n)·5 = 40mn d) (5y + 7) – (3y – 2) = 2y + 9 e) 2c³
– 5c³ = –3c³ f) (d²)³ = d⁶ g) –4x² – (4x²·5) = –24x² h) (–3y)³ =
–27y³ i) (8x – 3z) + (5z + 8x) = 16x + 2z j) x² · x³ = x⁵ k) (2x –
6)(4x + 5) = 8x² – 14x – 30 l) 6x² – 5x – 4x² – 7x = 2x² – 12x
Exercice 3 – Calculs et réductions : a) (3x)² = 9x² b) 7y · 2y =
14y² c) 4x + 5x = 9x d) z · (3z) = 3z² e) 6w³ + 2w³ = 8w³ f) 3x · 4x
· x = 12x³ g) (2xy)² = 4x²y² h) –4m² – 3 + 2m² – 4 = 7m² – 7
i) (–2t)² = 4t² j) 9x – (4 – 2x) = 11x – 4 k) 3ab + 6ab = 9ab l) –8p
+ (–2p) = –10p m) (4xy)(3xy) = 12x²y² n) x + z + x + z – z = 2x + z
o) 8x + 3x – 5x – 2x = 4x p) –3s² – 4s² + 8s² = s² q) (–3uv)² = 9u²v²
r) y – [2y + (3 – y)] = –3 s) (3z)³ · 0,5z = 13,5z⁴ (ou 27/2 z⁴)
t) 2x² + 5xy + 4x² – 3xy = 6x² + 2xy
C’est le résumé de la correction de l’exercice.
Corrigé détaillé
Voici ci‑dessous la correction détaillée de chaque partie de
l’exercice, avec des explications étape par étape en français.
Exercice
1 : Identifier les erreurs commises par Marie‑Louise
Nous devons comparer chacune des égalités et vérifier si les
opérations ont été correctement effectuées.
a) \(2m + 5m =
7m\)
- Explication :
On additionne bien les termes semblables.
\[
2m + 5m = (2+5)m = 7m.
\]
- Conclusion :
Pas d’erreur.
b) \(4(a+3) = 4a +
3\)
- Explication :
La multiplication par 4 doit se répartir sur chaque terme à l’intérieur
de la parenthèse.
On a : \[
4(a+3) = 4 \times a + 4 \times 3 = 4a + 12.
\] Dans l’égalité proposée, le terme constant est écrit « 3 » au
lieu de « 12 ».
- Conclusion :
Erreur de distributivité sur le second terme.
c) \(2y \cdot y^2 =
2y^3\)
- Explication :
On multiplie les coefficients (ici 2) et on ajoute les exposants de la
même base \(y\) (la base \(y\) est \(y^1
\cdot y^2 = y^{1+2}\)).
\[
2y \cdot y^2 = 2 \, y^{1+2} = 2y^3.
\]
- Conclusion :
Pas d’erreur.
d) \(7z - 2 =
5z\)
- Explication :
Ici, l’égalité ne provient pas d’un calcul d’addition de termes
semblables. Il semble que Marie‑Louise ait écrit une égalité qui n’est
vraie que pour une valeur particulière de \(z\).
En effet, si l’on cherche à résoudre : \[
7z - 2 = 5z,
\] on soustrait \(5z\) de chaque
côté : \[
2z - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2z = 2 \quad \Rightarrow \quad z = 1.
\] Ainsi, l’égalité n’est vraie que pour \(z=1\). Si l’intention était de simplifier
une expression algébrique sans résoudre une équation, l’erreur est
d’avoir omis le terme constant.
- Conclusion :
Erreur : le terme constant \(-2\) ne s’annule pas sauf si \(z=1\); l’égalité n’est pas une
identité.
e) \(8k - 5k =
3k\)
- Explication :
On combine les coefficients : \[
8k - 5k = (8-5)k = 3k.
\]
- Conclusion :
Pas d’erreur.
f) \(x \cdot x^4 =
x^5\)
- Explication :
Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants
: \[
x \cdot x^4 = x^{1+4} = x^5.
\]
- Conclusion :
Pas d’erreur.
g) \((3p)^2 =
6p^2\)
- Explication :
Le carré d’un produit se calcule en élevant chacun des facteurs au carré
: \[
(3p)^2 = 3^2 \times p^2 = 9p^2.
\] Marie‑Louise a écrit \(6p^2\)
au lieu de \(9p^2\).
- Conclusion :
Erreur de calcul dans le carré du coefficient.
h) \(2(q-4) = 2q -
4\)
- Explication :
Il faut distribuer le 2 : \[
2(q-4) = 2 \times q - 2 \times 4 = 2q - 8.
\] L’expression proposée donne \(2q -
4\) au lieu de \(2q - 8\).
- Conclusion :
Erreur : mauvais calcul lors de la distribution de la
multiplication par 2.
i) \(3r + r =
3r^2\)
- Explication :
Additionner des termes semblables ne change pas l’exposant : \[
3r + r = (3+1)r = 4r.
\] Écrire \(3r^2\) introduit à
tort un exposant 2.
- Conclusion :
Erreur : mélange de l’addition de termes semblables avec une
opération sur les exposants.
j) \(5x - x =
5\)
- Explication :
En combinant les termes semblables : \[
5x - x = (5-1)x = 4x,
\] et non le nombre 5.
- Conclusion :
Erreur : la variable \(x\) n’a
pas été conservée dans le résultat.
k) \(3 + 3d + 3 = 3d +
8\)
- Explication :
Additionnons les constantes : \[
3 + 3 = 6,
\] donc l’expression devient : \[
3d + 6.
\] Or, la droite de l’égalité est \(3d+8\).
- Conclusion :
Erreur : mauvaise somme des constantes (6 au lieu de
8).
l) \((n+2)^2 = n^2 +
4\)
- Explication :
Le carré d’une somme se développe avec : \[
(n+2)^2 = n^2 + 2 \times n \times 2 + 2^2 = n^2 + 4n + 4.
\] L’expression proposée omet le terme \(4n\).
- Conclusion :
Erreur : oubli du terme central lors du développement du
binôme.
m) \(1{,}5w + w =
2{,}5w\)
- Explication :
Convertissons \(w\) en coefficient 1 :
\[
1{,}5w + 1w = (1{,}5+1)w = 2{,}5w.
\]
- Conclusion :
Pas d’erreur.
n) \(4p \cdot 3q =
12p^2q\)
- Explication :
On multiplie les coefficients : \[
4 \times 3 = 12.
\] Puis, on multiplie les variables. Ici, on a \(p\) et \(q\) (pas deux fois \(p\)) : \[
4p \cdot 3q = 12 \, p \, q.
\] Écrire \(p^2q\) signifie que
\(p\) est multiplié par lui-même, ce
qui n’est pas le cas.
- Conclusion :
Erreur : mauvaise gestion de la multiplication des
variables.
Exercice
2 : Effectuer et réduire les expressions littérales
Nous allons simplifier chaque expression en détaillant les
étapes.
a) \(7x - 2x\)
- Étapes :
Combinez les coefficients des termes semblables. \[
7x - 2x = (7-2)x = 5x.
\]
- Résultat :
\(\boxed{5x}\)
b) \((3x - 4) \cdot
2x\)
- Étapes :
Distribuez \(2x\) dans la parenthèse :
\[
2x \cdot 3x = 6x^2 \quad \text{et} \quad 2x \cdot (-4) = -8x.
\] Ainsi, \[
(3x-4) \cdot 2x = 6x^2 - 8x.
\]
- Résultat :
\(\boxed{6x^2-8x}\)
c) \((4m \cdot
2n) \cdot 5\)
- Étapes :
Tout d’abord, multipliez \(4m\) par
\(2n\) : \[
4m \cdot 2n = 8mn.
\] Puis multipliez par 5 : \[
8mn \cdot 5 = 40mn.
\]
- Résultat :
\(\boxed{40mn}\)
d) \((5y + 7) - (3y -
2)\)
- Étapes :
Ouvrez les parenthèses en faisant attention au signe moins devant la
seconde parenthèse : \[
5y + 7 - 3y + 2.
\] Regroupez ensuite les termes semblables : \[
(5y-3y) + (7+2) = 2y + 9.
\]
- Résultat :
\(\boxed{2y+9}\)
e) \(2c^3 -
5c^3\)
- Étapes :
Combinez les coefficients : \[
2c^3 - 5c^3 = (2-5)c^3 = -3c^3.
\]
- Résultat :
\(\boxed{-3c^3}\)
f) \(\bigl(d^2\bigr)^3\)
- Étapes :
On élève une puissance à une puissance en multipliant les exposants :
\[
(d^2)^3 = d^{2 \times 3} = d^6.
\]
- Résultat :
\(\boxed{d^6}\)
g) \(-4x^2 - 4x^2
\cdot 5\)
- Étapes :
D’abord, calculons le second terme : \[
4x^2 \cdot 5 = 20x^2.
\] Ensuite, appliquez le signe négatif : \[
-4x^2 - 20x^2 = -(4+20)x^2 = -24x^2.
\]
- Résultat :
\(\boxed{-24x^2}\)
h) \(\bigl(-3y\bigr)^3\)
- Étapes :
Le cube de \(-3y\) se calcule en
élevant le coefficient et la variable : \[
(-3y)^3 = (-3)^3 \cdot y^3 = -27y^3.
\]
- Résultat :
\(\boxed{-27y^3}\)
i) \((8x - 3z) + (5z
+ 8x)\)
- Étapes :
Regroupez les termes semblables : \[
8x + 8x = 16x, \quad -3z + 5z = 2z.
\] Donc, \[
(8x-3z)+(5z+8x)=16x+2z.
\]
- Résultat :
\(\boxed{16x+2z}\)
j) \(x^2 \cdot
x^3\)
- Étapes :
Multipliez en additionnant les exposants : \[
x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5.
\]
- Résultat :
\(\boxed{x^5}\)
k) \((2x-6)(4x+5)\)
- Étapes :
Utilisez la méthode de distribution (produit de deux binômes) :
- \(2x \cdot 4x = 8x^2\)
- \(2x \cdot 5 = 10x\)
- \(-6 \cdot 4x = -24x\)
- \(-6 \cdot 5 = -30\)
Ensuite, regroupez les termes semblables : \[
8x^2 + (10x - 24x) - 30 = 8x^2 - 14x - 30.
\]
- Résultat :
\(\boxed{8x^2-14x-30}\)
l) \(6x^2 - 5x
- 4x^2 - 7x\)
- Étapes :
Regroupez les termes semblables : \[
6x^2 - 4x^2 = 2x^2, \quad -5x - 7x = -12x.
\] Donc, \[
6x^2 - 5x - 4x^2 - 7x = 2x^2 - 12x.
\]
- Résultat :
\(\boxed{2x^2-12x}\)
Exercice 3 : Effectuer
et/ou réduire
Nous allons à nouveau effectuer les calculs pas à pas.
a) \((3x)^2\)
- Étapes :
Calculer le carré de \(3x\) : \[
(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2.
\]
- Résultat :
\(\boxed{9x^2}\)
b) \(7y \cdot
2y\)
- Étapes :
Multipliez les coefficients et additionnez les exposants : \[
7y \cdot 2y = (7 \cdot 2)(y \cdot y) = 14y^2.
\]
- Résultat :
\(\boxed{14y^2}\)
c) \(4x + 5x\)
- Étapes :
Regroupez les termes semblables : \[
4x + 5x = (4+5)x = 9x.
\]
- Résultat :
\(\boxed{9x}\)
d) \(z \cdot
(3z)\)
- Étapes :
Multipliez : \[
z \cdot 3z = 3 \cdot (z \cdot z) = 3z^2.
\]
- Résultat :
\(\boxed{3z^2}\)
e) \(6w^3 +
2w^3\)
- Étapes :
Additionnez les coefficients des termes semblables : \[
6w^3 + 2w^3 = (6+2)w^3 = 8w^3.
\]
- Résultat :
\(\boxed{8w^3}\)
f) \(3x \cdot 4x
\cdot x\)
- Étapes :
Multipliez les coefficients et ajoutez les exposants pour \(x\) : \[
3x \cdot 4x \cdot x = (3 \cdot 4 \cdot 1)x^{1+1+1} = 12x^3.
\]
- Résultat :
\(\boxed{12x^3}\)
g) \((2xy)^2\)
- Étapes :
Élevez chacun des facteurs au carré : \[
(2xy)^2 = 2^2 \cdot x^2 \cdot y^2 = 4x^2y^2.
\]
- Résultat :
\(\boxed{4x^2y^2}\)
h) \(5m^2 - 3 +
2m^2 - 4\)
- Étapes :
Regroupez les termes avec \(m^2\) et
les constants : \[
5m^2 + 2m^2 = 7m^2, \quad -3 - 4 = -7.
\] Donc, \[
5m^2 - 3 + 2m^2 - 4 = 7m^2 - 7.
\]
- Résultat :
\(\boxed{7m^2-7}\)
i) \((-2t)^2\)
- Étapes :
Le carré d’un nombre négatif est positif : \[
(-2t)^2 = (-2)^2 \cdot t^2 = 4t^2.
\]
- Résultat :
\(\boxed{4t^2}\)
j) \(9x -
(4-2x)\)
- Étapes :
Distribuez le signe moins à l’intérieur de la parenthèse : \[
9x -4 + 2x = (9x+2x)-4 = 11x -4.
\]
- Résultat :
\(\boxed{11x-4}\)
k) \(3ab +
6ab\)
- Étapes :
Additionnez les coefficients : \[
3ab + 6ab = (3+6)ab = 9ab.
\]
- Résultat :
\(\boxed{9ab}\)
l) \(-8p +
(-2p)\)
- Étapes :
Combinez les coefficients : \[
-8p + (-2p) = -(8+2)p = -10p.
\]
- Résultat :
\(\boxed{-10p}\)
m) \((4xy)(3xy)\)
- Étapes :
Multipliez les coefficients et les variables : \[
4xy \cdot 3xy = (4 \cdot 3)(x \cdot x)(y \cdot y) = 12x^2y^2.
\]
- Résultat :
\(\boxed{12x^2y^2}\)
n) \(x + z + x + z -
z\)
- Étapes :
Regroupez les termes similaires :
- Les \(x\) : \(x + x = 2x\)
- Les \(z\) : \(z + z - z = z\) \[
\text{Donc} \quad 2x + z.
\]
- Résultat :
\(\boxed{2x+z}\)
o) \(8x + 3x - 5x -
2x\)
- Étapes :
Additionnez les coefficients de \(x\) :
\[
8+3-5-2 = 4,
\] donc, \[
8x + 3x - 5x - 2x = 4x.
\]
- Résultat :
\(\boxed{4x}\)
p) \(-3s^2 - 4s^2 +
8s^2\)
- Étapes :
Combinez les coefficients : \[
-3-4+8 = 1,
\] ainsi, \[
-3s^2 - 4s^2 + 8s^2 = s^2.
\]
- Résultat :
\(\boxed{s^2}\)
q) \((-3uv)^2\)
- Étapes :
Élevez le coefficient et chaque variable au carré : \[
(-3uv)^2 = (-3)^2 \cdot u^2 \cdot v^2 = 9u^2v^2.
\]
- Résultat :
\(\boxed{9u^2v^2}\)
r) \(y -
\bigl[2y + (3 - y)\bigr]\)
- Étapes :
D’abord, simplifions l’expression dans la crochets : \[
2y + (3 - y) = 2y - y + 3 = y + 3.
\] Puis, remplacez dans l’expression initiale : \[
y - (y+3) = y - y - 3 = -3.
\]
- Résultat :
\(\boxed{-3}\)
s) \((3z)^3 \cdot
0{,}5z\)
- Étapes :
Calculez d’abord \((3z)^3\) : \[
(3z)^3 = 3^3 \cdot z^3 = 27z^3.
\] Puis multipliez par \(0{,}5z\) : \[
27z^3 \cdot 0{,}5z = 27 \times 0{,}5 \cdot z^{3+1} = 13{,}5z^4.
\] On peut aussi écrire \(13{,}5z^4\) ou \(\frac{27}{2}z^4\).
- Résultat :
\(\boxed{13.5z^4}\) ou \(\boxed{\frac{27}{2}z^4}\)
t) \(2x^2 + 5xy +
4x^2 - 3xy\)
- Étapes :
Regroupez les termes semblables :
- Pour \(x^2\) : \(2x^2 + 4x^2 = 6x^2\)
- Pour \(xy\) : \(5xy - 3xy = 2xy\) \[
\text{Donc, } 2x^2 + 5xy + 4x^2 - 3xy = 6x^2 + 2xy.
\]
- Résultat :
\(\boxed{6x^2+2xy}\)
Conclusion
Chaque partie de l’exercice a été traitée pas à pas en expliquant la
logique et les opérations nécessaires. Ainsi, vous avez maintenant la
correction complète pour :
- L’identification des erreurs dans les expressions proposées
(Exercice 1),
- La simplification et réduction des expressions littérales (Exercices
2 et 3).
N’hésitez pas à revoir chaque étape pour bien comprendre
l’application des propriétés distributives, l’addition de termes
semblables et l’utilisation des règles des puissances.