Exercice 50

Exercice

Calculez et simplifiez les expressions suivantes :

1. \((x+5)(x+3) =\)
   
2. \((a+2)(b-4) =\)
   
3. \((x-3)(y+7) =\)
   
4. \((2x-3)(-x+5) =\)
   
5. \((y-6)(6+y) =\)
   
6. \((-a+8)(b+2) =\)
   
7. \((x-10)(y-3z) =\)
   
8. \(\left(5x^2-2y\right)\left(3x^3+4y\right) =\)

Réponse

Réponses : a) x² + 8x + 15
b) ab – 4a + 2b – 8
c) xy + 7x – 3y – 21
d) –2x² + 13x – 15
e) y² – 36
f) –ab – 2a + 8b + 16
g) xy – 3xz – 10y + 30z
h) 15x⁵ – 6x³y + 20x²y – 8y²

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice avec toutes les étapes :

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a) Calcul de \((x+5)(x+3)\)

Pour multiplier deux binômes, on utilise la distributivité (méthode « FOIL », c’est-à-dire : First, Outer, Inner, Last).

1. Produit des premiers termes :
   \(x \cdot x = x^2\)
2. Produit des termes extérieurs :
   \(x \cdot 3 = 3x\)
3. Produit des termes intérieurs :
   \(5 \cdot x = 5x\)
4. Produit des derniers termes :
   \(5 \cdot 3 = 15\)

En additionnant tous ces produits, on obtient : \[ x^2 + 3x + 5x + 15 \]

Regroupons les termes semblables : \[ x^2 + (3x + 5x) + 15 = x^2 + 8x + 15 \]

Réponse a) : \(\boxed{x^2 + 8x + 15}\)

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b) Calcul de \((a+2)(b-4)\)

Ici, les deux binômes ne possèdent pas les mêmes variables. On multiplie chaque terme du premier binôme par chaque terme du second :

1. \(a \cdot b = ab\)
2. \(a \cdot (-4) = -4a\)
3. \(2 \cdot b = 2b\)
4. \(2 \cdot (-4) = -8\)

En écrivant l’expression complète : \[ ab - 4a + 2b - 8 \]

Il n’y a pas de termes semblables à regrouper.

Réponse b) : \(\boxed{ab - 4a + 2b - 8}\)

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c) Calcul de \((x-3)(y+7)\)

De même, on développe en multipliant chaque terme :

1. \(x \cdot y = xy\)
2. \(x \cdot 7 = 7x\)
3. \(-3 \cdot y = -3y\)
4. \(-3 \cdot 7 = -21\)

L’expression obtenue est : \[ xy + 7x - 3y - 21 \]

Réponse c) : \(\boxed{xy + 7x - 3y - 21}\)

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d) Calcul de \((2x-3)(-x+5)\)

Nous multiplions chaque terme du premier binôme par chaque terme du second :

1. \(2x \cdot (-x) = -2x^2\)
2. \(2x \cdot 5 = 10x\)
3. \(-3 \cdot (-x) = 3x\)
4. \(-3 \cdot 5 = -15\)

En additionnant les résultats : \[ -2x^2 + 10x + 3x - 15 \]

Regroupons les termes semblables en \(x\) : \[ -2x^2 + (10x + 3x) - 15 = -2x^2 + 13x - 15 \]

Réponse d) : \(\boxed{-2x^2 + 13x - 15}\)

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e) Calcul de \((y-6)(6+y)\)

Ici, remarquez que \(6+y\) est identique à \(y+6\). L’expression peut donc être vue comme : \[ (y-6)(y+6) \] Ce type de produit est un cas particulier correspondant à la différence de deux carrés, car : \[ (y-6)(y+6) = y^2 - 6^2 = y^2 - 36 \]

Réponse e) : \(\boxed{y^2 - 36}\)

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f) Calcul de \((-a+8)(b+2)\)

On multiplie chaque terme du premier binôme par chaque terme du second :

1. \(-a \cdot b = -ab\)
2. \(-a \cdot 2 = -2a\)
3. \(8 \cdot b = 8b\)
4. \(8 \cdot 2 = 16\)

L’expression complète devient : \[ -ab - 2a + 8b + 16 \]

Réponse f) : \(\boxed{-ab - 2a + 8b + 16}\)

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g) Calcul de \((x-10)(y-3z)\)

On procède de la même manière en multipliant chaque terme :

1. \(x \cdot y = xy\)
2. \(x \cdot (-3z) = -3xz\)
3. \(-10 \cdot y = -10y\)
4. \(-10 \cdot (-3z) = 30z\)

L’expression obtenue est : \[ xy - 3xz - 10y + 30z \]

Réponse g) : \(\boxed{xy - 3xz - 10y + 30z}\)

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h) Calcul de \(\left(5x^2-2y\right)\left(3x^3+4y\right)\)

Ici, on multiplie chaque terme du premier polynôme par chaque terme du second :

1. \(5x^2 \cdot 3x^3 = 15x^{2+3} = 15x^5\)
2. \(5x^2 \cdot 4y = 20x^2y\)
3. \(-2y \cdot 3x^3 = -6x^3y\)
4. \(-2y \cdot 4y = -8y^2\)

En regroupant ces termes, on obtient : \[ 15x^5 + 20x^2y - 6x^3y - 8y^2 \]

Pour mettre en évidence un ordre décroissant en fonction de la puissance de \(x\), on peut aussi écrire : \[ 15x^5 - 6x^3y + 20x^2y - 8y^2 \]

Réponse h) : \(\boxed{15x^5 - 6x^3y + 20x^2y - 8y^2}\)

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Voilà la correction complète et détaillée de l’exercice !