Exercice 49

Effectuez et réduisez :

1. \((7y + 9x) + (4x - 3y) =\)

2. \((7y + 9x) - (4x - 3y) =\)

3. \(\left(80c^{2} - 50d^{2}\right) + \left(60c^{2} - 30d^{2}\right) =\)

4. \(\left(80c^{2} - 50d^{2}\right) - \left(60c^{2} - 30d^{2}\right) =\)

5. \(52r^{2}u + 34r^{2} + \left(-58r^{2}u + 22r^{2}\right) =\)

6. \(52r^{2}u + 34r^{2} - \left(58r^{2}u - 22r^{2}\right) =\)

7. \(\left(9m^{2} - 27mn + 16n^{2}\right) + \left(m^{2} - 9mn + 4n^{2}\right) =\)

8. \(9m^{2} - 27mn + 16n^{2} - \left(m^{2} - 9mn + 4n^{2}\right) =\)

Réponse

Réponses de l’exercice :

1. 4y + 13x
   
2. 10y + 5x
   
3. 140c² – 80d² (ou 20(7c² – 4d²))
   
4. 20c² – 20d² (ou 20(c² – d²))
   
5. –6r²u + 56r²
   
6. –6r²u + 56r²
   
7. 10m² – 36mn + 20n² (ou 2(5m² – 18mn + 10n²))
   
8. 8m² – 18mn + 12n² (ou 2(4m² – 9mn + 6n²))

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

---

a) \((7y + 9x) + (4x - 3y)\)

1. Étape 1 : Écrire l’expression sous forme développée.

   \[ (7y + 9x) + (4x - 3y) = 7y + 9x + 4x - 3y \]

2. Étape 2 : Regrouper les termes semblables.

   • Les termes avec \(y\) : \(7y - 3y\)
     
   • Les termes avec \(x\) : \(9x + 4x\)

3. Étape 3 : Effectuer les additions.

   \[ 7y - 3y = 4y \quad \text{et} \quad 9x + 4x = 13x \]

4. Conclusion :

   \[ \boxed{4y + 13x} \]

---

b) \((7y + 9x) - (4x - 3y)\)

1. Étape 1 : Développer en faisant attention au signe moins qui se répartit sur toute l’expression suivante.

   \[ (7y + 9x) - (4x - 3y) = 7y + 9x - 4x + 3y \]

2. Étape 2 : Regrouper les termes semblables.

   • Pour \(y\) : \(7y + 3y\)
     
   • Pour \(x\) : \(9x - 4x\)

3. Étape 3 : Effectuer les opérations.

   \[ 7y + 3y = 10y \quad \text{et} \quad 9x - 4x = 5x \]

4. Conclusion :

   \[ \boxed{10y + 5x} \]

---

c) \(\left(80c^{2} - 50d^{2}\right) + \left(60c^{2} - 30d^{2}\right)\)

1. Étape 1 : Développer l’expression.

   \[ 80c^2 - 50d^2 + 60c^2 - 30d^2 \]

2. Étape 2 : Regrouper les termes semblables.

   • Pour \(c^2\) : \(80c^2 + 60c^2\)
     
   • Pour \(d^2\) : \(-50d^2 - 30d^2\)

3. Étape 3 : Effectuer les additions.

   \[ 80c^2 + 60c^2 = 140c^2 \quad \text{et} \quad -50d^2 - 30d^2 = -80d^2 \]

4. Conclusion :

   \[ \boxed{140c^2 - 80d^2} \]

   On peut également factoriser par \(20\) :

   \[ 20(7c^2 - 4d^2) \]

---

d) \(\left(80c^{2} - 50d^{2}\right) - \left(60c^{2} - 30d^{2}\right)\)

1. Étape 1 : Développer en appliquant le signe moins aux termes du second groupe.

   \[ 80c^2 - 50d^2 - 60c^2 + 30d^2 \]

2. Étape 2 : Regrouper les termes semblables.

   • Pour \(c^2\) : \(80c^2 - 60c^2\)
     
   • Pour \(d^2\) : \(-50d^2 + 30d^2\)

3. Étape 3 : Calculer les différences.

   \[ 80c^2 - 60c^2 = 20c^2 \quad \text{et} \quad -50d^2 + 30d^2 = -20d^2 \]

4. Conclusion :

   \[ \boxed{20c^2 - 20d^2} \]

   On peut aussi factoriser par \(20\) :

   \[ 20(c^2 - d^2) \]

---

e) \(52r^{2}u + 34r^{2} + \left(-58r^{2}u + 22r^{2}\right)\)

1. Étape 1 : Écrire l’expression entièrement.

   \[ 52r^2u + 34r^2 - 58r^2u + 22r^2 \]

2. Étape 2 : Regrouper les termes avec \(r^2u\) et ceux avec \(r^2\).

   • Pour \(r^2u\) : \(52r^2u - 58r^2u\)
     
   • Pour \(r^2\) : \(34r^2 + 22r^2\)

3. Étape 3 : Effectuer les opérations.

   \[ \begin{aligned} 52r^2u - 58r^2u &= -6r^2u \\ 34r^2 + 22r^2 &= 56r^2 \end{aligned} \]

4. Conclusion :

   \[ \boxed{-6r^2u + 56r^2} \]

---

f) \(52r^{2}u + 34r^{2} - \left(58r^{2}u - 22r^{2}\right)\)

1. Étape 1 : Développer l’expression en multipliant le signe moins sur le second groupe.

   \[ 52r^2u + 34r^2 - 58r^2u + 22r^2 \]

2. Étape 2 : Regrouper les termes semblables.

   • Pour \(r^2u\) : \(52r^2u - 58r^2u\)
     
   • Pour \(r^2\) : \(34r^2 + 22r^2\)

3. Étape 3 : Effectuer les calculs.

   \[ \begin{aligned} 52r^2u - 58r^2u &= -6r^2u \\ 34r^2 + 22r^2 &= 56r^2 \end{aligned} \]

4. Conclusion :

   \[ \boxed{-6r^2u + 56r^2} \]

---

g) \(\left(9m^{2} - 27mn + 16n^{2}\right) + \left(m^{2} - 9mn + 4n^{2}\right)\)

1. Étape 1 : Développer l’expression.

   \[ 9m^2 - 27mn + 16n^2 + m^2 - 9mn + 4n^2 \]

2. Étape 2 : Regrouper les termes similaires.

   • Pour \(m^2\) : \(9m^2 + m^2\)
     
   • Pour \(mn\) : \(-27mn - 9mn\)
     
   • Pour \(n^2\) : \(16n^2 + 4n^2\)

3. Étape 3 : Effectuer les opérations.

   \[ \begin{aligned} 9m^2 + m^2 &= 10m^2, \\ -27mn - 9mn &= -36mn, \\ 16n^2 + 4n^2 &= 20n^2. \end{aligned} \]

4. Conclusion :

   \[ \boxed{10m^2 - 36mn + 20n^2} \]

   Optionnellement, on peut factoriser par \(2\) :

   \[ 2(5m^2 - 18mn + 10n^2) \]

---

h) \(9m^{2} - 27mn + 16n^{2} - \left(m^{2} - 9mn + 4n^{2}\right)\)

1. Étape 1 : Développer en appliquant le signe moins au second groupe.

   \[ 9m^2 - 27mn + 16n^2 - m^2 + 9mn - 4n^2 \]

2. Étape 2 : Regrouper les termes semblables.

   • Pour \(m^2\) : \(9m^2 - m^2\)
     
   • Pour \(mn\) : \(-27mn + 9mn\)
     
   • Pour \(n^2\) : \(16n^2 - 4n^2\)

3. Étape 3 : Effectuer les calculs.

   \[ \begin{aligned} 9m^2 - m^2 &= 8m^2, \\ -27mn + 9mn &= -18mn, \\ 16n^2 - 4n^2 &= 12n^2. \end{aligned} \]

4. Conclusion :

   \[ \boxed{8m^2 - 18mn + 12n^2} \]

   On peut également factoriser par \(2\) :

   \[ 2(4m^2 - 9mn + 6n^2) \]

---

Ainsi, nous avons réduit toutes les expressions demandées.