Exercice 48
Exercice
Déterminez quel polynôme il faut ajouter à \[
8x-2
\] pour obtenir \[
9x+7.
\]
Pour chacune des égalités ci-dessous, trouvez l’expression à
ajouter au premier membre pour obtenir le deuxième membre.
\(\quad x-3 \;+\; ? \;=\;
x+1\)
\(\quad 4y+2 \;+\; ? \;=\;
2y-3\)
\(\quad x^3-2x \;+\; ? \;=\;
x^3+x\)
\(\quad 2x+y \;+\; ? \;=\;
5x\)
\(\quad y^3-y^2 \;+\; ? \;=\;
y^3+3y+2\)
\(\quad 2x^2+3x-4 \;+\; ? \;=\;
-2x^2-3x+4\)
\(\quad 5z-2 \;+\; ? \;=\;
z^2+4z\)
\(\quad 4m-6n \;+\; ? \;=\;
-6m+4n\)
Réponse
Réponses courtes :
- Pour obtenir 9x + 7 à partir de 8x – 2, il faut ajouter x + 9.
- ? = 4
b) ? = –2y – 5
c) ? = 3x
d) ? = 3x – y
e) ? = y² + 3y + 2
f) ? = –4x² – 6x + 8
g) ? = z² – z + 2
h) ? = –10m + 10n.
Corrigé détaillé
Voici la correction complète de l’exercice avec une explication
détaillée :
Partie 1
Énoncé :
Déterminer quel polynôme il faut ajouter à
\[
8x - 2
\] pour obtenir
\[
9x + 7.
\]
Étapes de la résolution :
- On cherche un polynôme \(P(x)\) tel
que : \[
(8x - 2) + P(x) = 9x + 7.
\]
- Pour trouver \(P(x)\), on soustrait
\(8x - 2\) des deux côtés de l’égalité
: \[
P(x) = (9x + 7) - (8x - 2).
\]
- Effectuons la soustraction en respectant la distribution du signe
moins : \[
P(x) = 9x + 7 - 8x + 2.
\]
- Regroupons les termes semblables : \[
P(x) = (9x - 8x) + (7 + 2) = x + 9.
\]
Conclusion :
Le polynôme à ajouter est
\[
x + 9.
\]
Partie 2
On doit trouver l’expression à ajouter au premier membre de chaque
égalité pour obtenir le second membre.
a) \(\quad x-3 + ? =
x+1\)
Étapes de la résolution :
- On écrit l’équation : \[
x - 3 + ? = x + 1.
\]
- Pour isoler le “?”, on soustrait \(x-3\) des deux côtés : \[
? = (x + 1) - (x - 3).
\]
- Développons : \[
? = x + 1 - x + 3.
\]
- Simplifions : \[
? = 4.
\]
Conclusion :
La réponse est
\[
4.
\]
b) \(\quad 4y+2 + ? =
2y-3\)
- On part de l’équation : \[
4y + 2 + ? = 2y - 3.
\]
- Isolez “?” : \[
? = (2y - 3) - (4y + 2).
\]
- Distribuez le moins : \[
? = 2y - 3 - 4y - 2.
\]
- Regroupez les termes semblables : \[
? = (2y - 4y) + (-3 - 2) = -2y - 5.
\]
Conclusion :
La réponse est
\[
-2y - 5.
\]
c) \(\quad x^3-2x +
? = x^3+x\)
- On écrit l’équation : \[
x^3 - 2x + ? = x^3 + x.
\]
- Isolez “?” : \[
? = (x^3 + x) - (x^3 - 2x).
\]
- Distribuez la soustraction : \[
? = x^3 + x - x^3 + 2x.
\]
- Regroupez : \[
? = (x^3 - x^3) + (x + 2x) = 3x.
\]
Conclusion :
La réponse est
\[
3x.
\]
d) \(\quad 2x+y + ? =
5x\)
- On a l’équation : \[
2x + y + ? = 5x.
\]
- Pour isoler “?” : \[
? = 5x - (2x + y).
\]
- Développons : \[
? = 5x - 2x - y.
\]
- Simplifions : \[
? = 3x - y.
\]
Conclusion :
La réponse est
\[
3x - y.
\]
e) \(\quad y^3-y^2
+ ? = y^3+3y+2\)
- On écrit l’équation : \[
y^3 - y^2 + ? = y^3 + 3y + 2.
\]
- Isolez “?” : \[
? = (y^3 + 3y + 2) - (y^3 - y^2).
\]
- Distribuez la soustraction : \[
? = y^3 + 3y + 2 - y^3 + y^2.
\]
- Regroupons les termes semblables : \[
? = (y^3 - y^3) + y^2 + 3y + 2 = y^2 + 3y + 2.
\]
Conclusion :
La réponse est
\[
y^2 + 3y + 2.
\]
f) \(\quad
2x^2+3x-4 + ? = -2x^2-3x+4\)
- Écrivons l’équation : \[
2x^2 + 3x - 4 + ? = -2x^2 - 3x + 4.
\]
- Isolez “?” : \[
? = (-2x^2 - 3x + 4) - (2x^2 + 3x - 4).
\]
- Distribuez le signe moins dans la parenthèse : \[
? = -2x^2 - 3x + 4 - 2x^2 - 3x + 4.
\]
- Regroupez : \[
? = (-2x^2 - 2x^2) + (-3x - 3x) + (4 + 4) = -4x^2 - 6x + 8.
\]
Conclusion :
La réponse est
\[
-4x^2 - 6x + 8.
\]
g) \(\quad 5z-2 + ?
= z^2+4z\)
- On écrit l’équation : \[
5z - 2 + ? = z^2 + 4z.
\]
- Isolez “?” : \[
? = (z^2 + 4z) - (5z - 2).
\]
- Distribuez le signe moins : \[
? = z^2 + 4z - 5z + 2.
\]
- Regroupons : \[
? = z^2 - z + 2.
\]
Conclusion :
La réponse est
\[
z^2 - z + 2.
\]
h) \(\quad 4m-6n +
? = -6m+4n\)
- On écrit l’équation : \[
4m - 6n + ? = -6m + 4n.
\]
- Isolez “?” : \[
? = (-6m + 4n) - (4m - 6n).
\]
- Distribuez la soustraction : \[
? = -6m + 4n - 4m + 6n.
\]
- Regroupons : \[
? = (-6m - 4m) + (4n + 6n) = -10m + 10n.
\]
Conclusion :
La réponse est
\[
-10m + 10n.
\]
Récapitulatif des réponses
Pour obtenir \(9x+7\) à partir
de \(8x-2\), il faut ajouter : \[
x+9.
\]
Expressions à ajouter :
- \(\quad ? = 4\)
- \(\quad ? = -2y - 5\)
- \(\quad ? = 3x\)
- \(\quad ? = 3x - y\)
- \(\quad ? = y^2 + 3y + 2\)
- \(\quad ? = -4x^2 - 6x + 8\)
- \(\quad ? = z^2 - z + 2\)
- \(\quad ? = -10m + 10n\)
Chaque étape a été détaillée pour vous permettre de bien comprendre
la méthode employée. N’hésitez pas à relire chaque partie pour bien
assimiler les techniques de manipulation d’équations et de regroupement
des termes semblables.