Exercice 46

Question : Exercice

Complétez le tableau suivant en remplissant les cases vides :

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 2x-3 & -2x+1 & 2x-3 \\ \hline 2x+3 & & \\ \hline 2x-1 & & \\ \hline -2x-3 & & \\ \hline -2x+3 & & \\ \hline \end{array} \]

Réponse

Réponse courte : Dans chaque ligne, la première et la troisième cases sont identiques, et la deuxième s’obtient en prenant l’opposé de la première puis en soustrayant 2 (c’est-à-dire, si A(x) est en première case, la deuxième est -A(x)-2). En appliquant cette règle à chaque ligne, on complète le tableau comme suit :

Ligne 1 : 2x–3, –2x+1, 2x–3
Ligne 2 : 2x+3, –2x–5, 2x+3
Ligne 3 : 2x–1, –2x–1, 2x–1
Ligne 4 : –2x–3, 2x+1, –2x–3
Ligne 5 : –2x+3, 2x–5, –2x+3.

Corrigé détaillé

Nous allons observer le tableau fourni et chercher un motif qui permette de compléter les cases vides. Dans le tableau initial, on remarque ce qui suit :

• Observation 1 :
  La première ligne est entièrement écrite :

  \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 2x-3 & -2x+1 & 2x-3 \\ \hline \end{array} \]

  On voit que la première colonne et la troisième colonne de cette ligne sont identiques.

• Observation 2 :
  On peut remarquer une relation entre la première colonne et la deuxième colonne de la première ligne.
  La première colonne donne \(2x-3\). Pour obtenir la deuxième colonne, on remarque que si l’on prend l’opposé de \(2x-3\) on obtient : \[ -(2x-3) = -2x+3. \] Or, la case correspondante est \(-2x+1\).
  La différence entre \(-2x+3\) et \(-2x+1\) est 2. Autrement dit, on a : \[ -2x+1 = -(2x-3)-2. \]

Cette remarque nous suggère la règle suivante pour chaque ligne :
- La première et la troisième colonne sont identiques.
- La deuxième colonne est obtenue en prenant l’opposé de la première colonne puis en soustrayant 2.

Autrement dit, si dans une ligne la case de la première colonne est \(A(x)\), alors la case de la deuxième colonne sera : \[ -A(x)-2. \]

Nous allons appliquer cette règle à chacune des lignes.

---

Complétons chaque ligne

1. Ligne 1 :
   La première colonne est \(2x-3\).

   • La deuxième colonne est donc : \[ -(2x-3) - 2 = -2x+3-2 = -2x+1. \]
   • La troisième colonne est identique à la première, c’est-à-dire \(2x-3\).

   Ce qui correspond bien à ce qui est donné dans le tableau.

2. Ligne 2 :
   La première colonne est \(2x+3\).

   • La deuxième colonne se calcule : \[ -(2x+3)-2 = -2x-3-2 = -2x-5. \]
   • La troisième colonne est identique à la première : \(2x+3\).

3. Ligne 3 :
   La première colonne est \(2x-1\).

   • La deuxième colonne sera : \[ -(2x-1)-2 = -2x+1-2 = -2x-1. \]
   • La troisième colonne est identique à la première : \(2x-1\).

4. Ligne 4 :
   La première colonne est \(-2x-3\).

   • La deuxième colonne est : \[ -(-2x-3)-2 = 2x+3-2 = 2x+1. \]
   • La troisième colonne est identique à la première : \(-2x-3\).

5. Ligne 5 :
   La première colonne est \(-2x+3\).

   • La deuxième colonne se calcule : \[ -(-2x+3)-2 = 2x-3-2 = 2x-5. \]
   • La troisième colonne est identique à la première : \(-2x+3\).

---

Tableau Complété

En appliquant cette méthode, le tableau complet devient :

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 2x-3 & -2x+1 & 2x-3 \\ \hline 2x+3 & -2x-5 & 2x+3 \\ \hline 2x-1 & -2x-1 & 2x-1 \\ \hline -2x-3 & 2x+1 & -2x-3 \\ \hline -2x+3 & 2x-5 & -2x+3 \\ \hline \end{array} \]

---

Conclusion

Pour chaque ligne, nous avons remarqué que :

• La première et la troisième colonne contiennent la même expression.
• La deuxième colonne est l’opposé de la première expression, diminué de 2, c’est-à-dire \(-A(x)-2\) si la première colonne est \(A(x)\).

Ainsi, nous avons complété correctement le tableau en respectant ce schéma.