Exercice 45

Voici trois égalités vraies : \[ (5x^2-28x+3) + (3x^2+40x-9) = 8x^2+12x-6 \] \[ (7x+15) - (3x+22) = 4x-7 \] \[ (6x^2-12y+8) - (2x^2+3y-5) = 4x^2-15y+13 \]

1. En observant ces égalités, déduis une règle générale pour additionner et soustraire des polynômes.

2. Réduis les expressions littérales suivantes :

   1. \((45m-32) - (20m+12)\)

   2. \((-8c^2-35d+60) - (4c^2-15d-10)\)

   3. \((3x^2y-5) + (10-3x^2y)\)

Réponse

Règle générale : retirer les parenthèses en respectant les signes, puis rassembler et combiner les termes semblables.

1. 25m – 44
   
2. –12c² – 20d + 70
   
3. 5

Corrigé détaillé

Nous allons détailler chaque étape pour répondre à la question.

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1. Règle générale pour additionner et soustraire des polynômes

Pour additionner ou soustraire des polynômes, il faut :

• Retirer les parenthèses en appliquant correctement le signe devant chaque parenthèse.
• Rassembler les termes semblables : ce sont des termes qui contiennent la même partie littérale (même variable avec les mêmes exposants).
• Additionner ou soustraire les coefficients des termes semblables.

Par exemple, dans l’égalité

\[ (5x^2-28x+3) + (3x^2+40x-9) = 8x^2+12x-6 \]

nous additionnons les termes en \(x^2\) : \(5+3=8\), les termes en \(x\) : \(-28+40=12\), et les constantes : \(3-9=-6\).

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2. Réduction des expressions littérales

a) Réduire \((45m-32) - (20m+12)\)

Étape 1 : Éliminer les parenthèses

On a une soustraction devant la deuxième parenthèse, donc il faut distribuer le signe :

\[ (45m-32) - (20m+12) = 45m-32 -20m -12 \]

Étape 2 : Rassembler les termes semblables

• Terme en \(m\) : \(45m - 20m = 25m\)
• Termes constants : \(-32 - 12 = -44\)

Résultat final :

\[ 25m - 44 \]

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b) Réduire \((-8c^2-35d+60) - (4c^2-15d-10)\)

Étape 1 : Éliminer les parenthèses

Distribuer le signe négatif sur la deuxième parenthèse :

\[ -8c^2 -35d + 60 - 4c^2 + 15d + 10 \]

Étape 2 : Rassembler les termes semblables

• Terme en \(c^2\) : \(-8c^2 - 4c^2 = -12c^2\)
• Terme en \(d\) : \(-35d + 15d = -20d\)
• Termes constants : \(60 + 10 = 70\)

Résultat final :

\[ -12c^2 - 20d + 70 \]

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c) Réduire \((3x^2y-5) + (10-3x^2y)\)

Étape 1 : Éliminer les parenthèses

La somme des deux expressions donne :

\[ 3x^2y - 5 + 10 - 3x^2y \]

Étape 2 : Rassembler les termes semblables

• Terme en \(x^2y\) : \(3x^2y - 3x^2y = 0\)
• Termes constants : \(-5 + 10 = 5\)

Résultat final :

\[ 5 \]

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Réponses finales

1. Règle générale : Pour additionner ou soustraire des polynômes, il faut retirer les parenthèses en appliquant correctement le signe, rassembler les termes semblables et ensuite additionner ou soustraire les coefficients.

2. Expressions réduites :

   • 1. \((45m-32) - (20m+12) = 25m - 44\)
   • 2. \((-8c^2-35d+60) - (4c^2-15d-10) = -12c^2 - 20d + 70\)
   • 3. \((3x^2y-5) + (10-3x^2y) = 5\)