Exercice 43

Simplifiez les expressions suivantes :

1. \(d \cdot (de) =\)
   
2. \((5f)^2 =\)
   
3. \(8g \cdot 3g =\)
   
4. \(h^3 \cdot 4h^2 =\)
   
5. \(\left(2h^3\right)^2 =\)
   
6. \((3hk) \cdot (4hk) =\)
   
7. \((-k)^2 =\)
   
8. \(-k^2 =\)
   
9. \((-k)^3 =\)

Réponse

Voici le résumé très court des réponses :

1. d²e
   
2. 25f²
   
3. 24g²
   
4. 4h⁵
   
5. 4h⁶
   
6. 12h²k²
   
7. k²
   
8. –k²
   
9. –k³

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression :

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a) \(d \cdot (de)\)

1. On remarque que l’expression \(de\) signifie \(d \cdot e\).
2. Ainsi, la multiplication devient : \[ d \cdot (d \cdot e) \]
3. En regroupant les facteurs similaires, on obtient : \[ d \cdot d \cdot e = d^2 \cdot e. \]

Réponse : \(d^2e\)

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b) \((5f)^2\)

1. Pour une expression de la forme \((ab)^2\), on applique la règle \((ab)^2 = a^2 \cdot b^2\).
2. Ici, \(a = 5\) et \(b = f\), donc : \[ (5f)^2 = 5^2 \cdot f^2 = 25 \cdot f^2. \]

Réponse : \(25f^2\)

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c) \(8g \cdot 3g\)

1. Séparer les coefficients et les lettres : \[ (8 \cdot 3) \cdot (g \cdot g) \]
2. Calculer les coefficients : \[ 8 \cdot 3 = 24 \]
3. Pour \(g \cdot g\), on utilise la propriété des exposants : \(g^1 \cdot g^1 = g^{1+1} = g^2\).
4. Tout ensemble donne : \[ 24g^2. \]

Réponse : \(24g^2\)

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d) \(h^3 \cdot 4h^2\)

1. On commence par écrire le coefficient à côté et appliquer la règle des exposants pour \(h\) : \[ 4 \cdot h^{3+2} = 4h^5. \] (On obtient \(h^5\) car \(3 + 2 = 5\).)

Réponse : \(4h^5\)

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e) \(\left(2h^3\right)^2\)

1. Pour une expression \((ab)^n\), on a \((ab)^n = a^n \cdot b^n\). Ici, \(a = 2\) et \(b = h^3\), avec \(n = 2\).
2. Appliquer la règle : \[ (2h^3)^2 = 2^2 \cdot (h^3)^2. \]
3. Calculer \(2^2\) : \[ 2^2 = 4. \]
4. Pour \((h^3)^2\), utiliser la règle \((x^a)^b = x^{a \cdot b}\) : \[ (h^3)^2 = h^{3 \times 2} = h^6. \]
5. Ainsi : \[ 4h^6. \]

Réponse : \(4h^6\)

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f) \((3hk) \cdot (4hk)\)

1. Regrouper les coefficients et les mêmes lettres : \[ (3 \cdot 4) \cdot (h \cdot h) \cdot (k \cdot k). \]
2. Calculer le produit des coefficients : \[ 3 \cdot 4 = 12. \]
3. Pour \(h \cdot h\) et \(k \cdot k\), on applique \(x^1 \cdot x^1 = x^2\) : \[ h \cdot h = h^2 \quad \text{et} \quad k \cdot k = k^2. \]
4. Ainsi : \[ 12 \cdot h^2 \cdot k^2. \]

Réponse : \(12h^2k^2\)

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g) \((-k)^2\)

1. On écrit \(-k\) comme \((-1) \cdot k\).
2. Élever au carré : \[ (-k)^2 = \left((-1) \cdot k\right)^2 = (-1)^2 \cdot k^2. \]
3. Sachant que \((-1)^2 = 1\), on obtient : \[ 1 \cdot k^2 = k^2. \]

Réponse : \(k^2\)

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h) \(-k^2\)

1. L’expression \(-k^2\) signifie que le carré s’applique uniquement à \(k\) et ensuite on prend l’opposé.
2. Il n’y a pas d’autre simplification possible.

Réponse : \(-k^2\)

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i) \((-k)^3\)

1. Écrire \(-k\) comme \((-1) \cdot k\).
2. Appliquer la puissance : \[ (-k)^3 = \left((-1) \cdot k\right)^3 = (-1)^3 \cdot k^3. \]
3. Calculer \((-1)^3\) : \[ (-1)^3 = -1. \]
4. Ainsi : \[ -1 \cdot k^3 = -k^3. \]

Réponse : \(-k^3\)

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Chaque étape montre comment appliquer les règles de multiplication et les propriétés des exposants. Ces règles sont très utiles pour simplifier les expressions algébriques.