Exercice 42

a) Entoure en vert le coefficient et en rouge la partie littérale de chacun des monômes suivants. Indique, en dessous, le degré de chaque monôme. - \(-3a\) - \(4x^2\) - \(\displaystyle \frac{7}{3}b^3\) - \(0,8\) - \(2,1y \quad \displaystyle \frac{15y^2}{4}\) - \(k^3 \quad -m\) - \(6xy\) - \(-2rs\) - \(\displaystyle \frac{st}{3} \quad uvw\)

b) Associe les monômes semblables parmi ceux-ci: \[ \begin{array}{cccccccc} \displaystyle \frac{2x^3}{5} & z & 5z^3 & \displaystyle \frac{3x}{4} & 2,3x & -4z & z^3 & 2x^3 \\ -2x^3 & 4x^2 & -x & \displaystyle \frac{1}{4}z & \displaystyle \frac{z^3}{5} & 3,2z & x & \displaystyle \frac{z}{2} \end{array} \]

Réponse

Partie a) : Pour chaque monôme, on identifie le coefficient numérique, la partie littérale et le degré (somme des exposants). Par exemple, –3a a pour coefficient –3, littérale a et degré 1 ; 4x² a coefficient 4, littérale x² et degré 2, etc.

Partie b) : On regroupe les monômes semblables, c’est-à-dire ceux qui ont la même écriture littérale (mêmes lettres avec mêmes exposants). On obtient ainsi les groupes : {2x³/5, 2x³, –2x³}, {3x/4, 2,3x, –x, x}, {z, –4z, 1/4z, 3,2z, z/2}, {5z³, z³, z³/5} et {4x²}.

Corrigé détaillé

Voici la correction complète de l’exercice.

Partie a)

On vous demande de repérer dans chaque monôme :

Le coefficient numérique (entouré en vert) : c’est le nombre qui multiplie la partie littérale.
La partie littérale (entourée en rouge) : c’est la ou les lettres qui portent éventuellement un exposant.
Le degré du monôme : c’est la somme des exposants des lettres. Si le monôme est un nombre seul (sans lettre), son degré est 0.

Analysons chaque monôme :

\(-3a\)
- Coefficient : \(\color{green}{-3}\)
- Partie littérale : \(\color{red}{a}\) (équivalent à \(a^1\))
- Degré : \(1\)
\(4x^2\)
- Coefficient : \(\color{green}{4}\)
- Partie littérale : \(\color{red}{x^2}\)
- Degré : \(2\)
\(\displaystyle \frac{7}{3}b^3\)
- Coefficient : \(\color{green}{\dfrac{7}{3}}\)
- Partie littérale : \(\color{red}{b^3}\)
- Degré : \(3\)
\(0,8\)
- Ici, il n’y a pas de lettre. On considère donc que toute l’expression est le coefficient : \(\color{green}{0,8}\)
- Partie littérale : aucune ou « vide »
- Degré : \(0\)
\(2,1y \quad \displaystyle \frac{15y^2}{4}\)
- Pour \(2,1y\) :
  - Coefficient : \(\color{green}{2,1}\)
  - Partie littérale : \(\color{red}{y}\) (équivalent à \(y^1\))
  - Degré : \(1\)
- Pour \(\frac{15y^2}{4}\) :
  - Coefficient : \(\color{green}{\dfrac{15}{4}}\)
  - Partie littérale : \(\color{red}{y^2}\)
  - Degré : \(2\)
\(k^3 \quad -m\)
- Pour \(k^3\) :
  - Le coefficient n’est pas écrit, il est donc implicite et vaut \(1\) : \(\color{green}{1}\)
  - Partie littérale : \(\color{red}{k^3}\)
  - Degré : \(3\)
- Pour \(-m\) :
  - Coefficient : \(\color{green}{-1}\) (puisque \(-m = -1 \times m\))
  - Partie littérale : \(\color{red}{m}\)
  - Degré : \(1\)
\(6xy\)
- Coefficient : \(\color{green}{6}\)
- Partie littérale : \(\color{red}{xy}\)
  - Ici, \(x\) et \(y\) apparaissent chacun avec un exposant égal à 1
- Degré : \(1+1=2\)
\(-2rs\)
- Coefficient : \(\color{green}{-2}\)
- Partie littérale : \(\color{red}{rs}\)
  - \(r\) et \(s\) sont de degré 1 chacun
- Degré : \(1+1=2\)
\(\displaystyle \frac{st}{3} \quad uvw\)
- Pour \(\frac{st}{3}\) :
  - On écrit ce monôme comme \(\displaystyle \frac{1}{3}\cdot st\).
  - Coefficient : \(\color{green}{\dfrac{1}{3}}\)
  - Partie littérale : \(\color{red}{st}\)
  - Degré : \(1+1=2\)
- Pour \(uvw\) :
  - Coefficient : implicite \(1\) : \(\color{green}{1}\)
  - Partie littérale : \(\color{red}{uvw}\)
  - Degré : \(1+1+1=3\)

Partie b)

Nous devons regrouper les monômes semblables. Deux monômes sont semblables s’ils ont la même partie littérale avec les mêmes exposants. Voici la liste des monômes proposés :

\[ \begin{array}{cccccccc} \displaystyle \frac{2x^3}{5} & z & 5z^3 & \displaystyle \frac{3x}{4} & 2,3x & -4z & z^3 & 2x^3 \\ -2x^3 & 4x^2 & -x & \displaystyle \frac{1}{4}z & \displaystyle \frac{z^3}{5} & 3,2z & x & \displaystyle \frac{z}{2} \end{array} \]

Analysons-les par groupe :

1. Monômes en \(x^3\)

\(\displaystyle \frac{2x^3}{5}\)
\(2x^3\)
\(-2x^3\)

Ces trois monômes possèdent la partie littérale \(x^3\).

2. Monômes en \(x\) (degré 1)

\(\displaystyle \frac{3x}{4}\)
\(2,3x\)
\(-x\)
\(x\)

Ces monômes sont semblables puisque chacun a la partie littérale \(x\).

3. Monômes en \(z\) (degré 1)

\(z\)
\(-4z\)
\(\displaystyle \frac{1}{4}z\)
\(3,2z\)
\(\displaystyle \frac{z}{2}\)

Ici, tous ont la partie littérale \(z\).

4. Monômes en \(z^3\)

\(5z^3\)
\(z^3\)
\(\displaystyle \frac{z^3}{5}\)

Ils sont tous semblables avec la partie littérale \(z^3\).

5. Monômes en \(x^2\)

\(4x^2\)

C’est le seul monôme ayant \(x^2\); il forme donc un groupe à lui.

Conclusion

Voici l’association des monômes semblables sous forme de groupes :

Groupe \(x^3\) :
\(\displaystyle \frac{2x^3}{5},\quad 2x^3,\quad -2x^3\)
Groupe \(x\) :
\(\displaystyle \frac{3x}{4},\quad 2,3x,\quad -x,\quad x\)
Groupe \(z\) :
\(z,\quad -4z,\quad \displaystyle \frac{1}{4}z,\quad 3,2z,\quad \displaystyle \frac{z}{2}\)
Groupe \(z^3\) :
\(5z^3,\quad z^3,\quad \displaystyle \frac{z^3}{5}\)
Groupe \(x^2\) :
\(4x^2\)

Chaque étape vous permet de comprendre comment identifier la partie numérique (coefficient) et la partie littérale d’un monôme, ainsi que de vérifier que seuls les monômes présentant exactement la même écriture littérale (lettres et exposants) sont regroupés.