Exercice 37

Exercice

1. Pour chaque expression, remplacez la lettre \(y\) par le nombre indiqué, puis effectuez le calcul :

• Pour \(y = 3\) :
  • \(y\)
• Pour \(y = 2\) :
  • \(5 \cdot y\)
• Pour \(y = 4\) :
  • \(y \cdot y\)
• Pour \(y = -1\) :
  • \(3 + 8 \cdot y\)

Ensuite, simplifiez les expressions suivantes : - \(y^{2}\) - \(2 \cdot y + 7 \cdot y\) - \(5 \cdot y + 4\)

2. Des expressions dites « équivalentes » donnent toujours la même valeur numérique. Y a-t-il ici des expressions équivalentes ?

Réponse

Partie a)
• Pour y = 3 : y = 3
• Pour y = 2 : 5·y = 10
• Pour y = 4 : y·y = 16
• Pour y = –1 : 3 + 8·y = –5

Simplifications :
• y² reste y²
• 2·y + 7·y = 9·y
• 5·y + 4 reste 5·y + 4

Partie b)
• y·y et y² sont équivalents
• 2·y + 7·y et 9·y sont équivalents
• 5·y + 4 n’est équivalent ni à y² ni à 9·y.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre cet exercice en deux parties.

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Partie a)

1. Remplacement de \(y\) et calcul des expressions

Pour \(y = 3\)
On a l’expression \(y\).
- En remplaçant \(y\) par 3, on obtient : \[ y = 3 \]

Pour \(y = 2\)
On a l’expression \(5 \cdot y\).
- Remplaçons \(y\) par 2 : \[ 5 \cdot y = 5 \cdot 2 = 10 \]

Pour \(y = 4\)
On a l’expression \(y \cdot y\).
- Remplaçons \(y\) par 4 : \[ y \cdot y = 4 \cdot 4 = 16 \]

Pour \(y = -1\)
On a l’expression \(3 + 8 \cdot y\).
- Remplaçons \(y\) par \(-1\) : \[ 3 + 8 \cdot y = 3 + 8 \cdot (-1) = 3 - 8 = -5 \]

2. Simplification de quelques expressions

Nous devons simplifier ces trois expressions :

1. Expression : \(\boldsymbol{y^{2}}\)
   L’expression \(\, y^{2} \,\) est déjà sous une forme simple.

2. Expression : \(\boldsymbol{2 \cdot y + 7 \cdot y}\)
   Les deux termes ont le facteur commun \(y\). On peut donc factoriser : \[ 2 \cdot y + 7 \cdot y = (2+7)\cdot y = 9 \cdot y \]

3. Expression : \(\boldsymbol{5 \cdot y + 4}\)
   Dans cette expression, les termes ne possèdent pas de facteur commun (le 4 ne contient pas \(y\)).
   Elle est donc déjà sous sa forme simplifiée : \[ 5 \cdot y + 4 \]

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Partie b)

La question nous demande si certaines des expressions données sont « équivalentes ».

Une expression équivalente signifie que, pour toute valeur donnée de \(y\), les expressions produisent toujours le même résultat numérique.

Analysons les expressions :

1. \(y \cdot y\) et \(y^2\)
   Ces deux expressions signifient exactement la même chose.
   En effet, \(y \cdot y = y^2\).
   Ainsi, elles sont équivalentes.

2. \(2 \cdot y + 7 \cdot y\) et \(9 \cdot y\)
   Nous avons simplifié \(2 \cdot y + 7 \cdot y\) en \(9 \cdot y\).
   Cela montre qu’elles donnent toujours la même valeur pour toute valeur de \(y\).
   Par conséquent, \(2 \cdot y + 7 \cdot y\) et \(9 \cdot y\) sont équivalentes.

3. \(5 \cdot y + 4\)
   Cette expression ne se simplifie pas en une forme équivalente à l’une des autres expressions (ni à \(y^2\) ni à \(9\cdot y\)).
   Pour la plupart des valeurs de \(y\), \(5 \cdot y + 4\) ne sera pas égal à \(9 \cdot y\) ni à \(y^2\).

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Conclusion

Pour résumer :

• Remplacements et calculs :
  • Pour \(y = 3\) : \(y = 3\)
    
  • Pour \(y = 2\) : \(5 \cdot y = 10\)
    
  • Pour \(y = 4\) : \(y\cdot y = 16\)
    
  • Pour \(y = -1\) : \(3 + 8 \cdot y = -5\)
• Simplifications :
  • \(y^2\) reste \(y^2\)
    
  • \(2 \cdot y + 7 \cdot y = 9 \cdot y\)
    
  • \(5 \cdot y + 4\) reste \(5 \cdot y + 4\)
• Expressions équivalentes :
  • Les expressions \(y \cdot y\) et \(y^2\) sont équivalentes.
    
  • Les expressions \(2 \cdot y + 7 \cdot y\) et \(9 \cdot y\) sont équivalentes.
    
  • L’expression \(5 \cdot y + 4\) n’est pas équivalente aux autres.

Cette démarche vous permet de bien comprendre comment effectuer le remplacement, simplifier et reconnaître des expressions équivalentes.