Exercice 31

Complétez les énoncés suivants en écrivant l’expression fonctionnelle correspondant à chaque description ou notation.

1. Multiplier un nombre par 5, puis ajouter 7.
  (Écrivez-en la forme avec la notation fléchée, par exemple : \(x \longmapsto 5x + 7\).)
1. \(x \longmapsto \frac{2x}{3}\).
1. Soustraire 6 à un nombre, puis multiplier le résultat par 5.
  (Par exemple : \(x \longmapsto 5(x - 6)\).)
1. \(x \longmapsto (x + 4)^2\).
1. Diviser un nombre par 4, puis le multiplier par 7.
  (Indiquez son expression fonctionnelle, par exemple : \(x \longmapsto 7\left(\frac{x}{4}\right)\).)
1. \(x \longmapsto x^2 + 3\).
1. Ajouter 3 à un nombre, puis en prendre le carré.
  (Par exemple : \(x \longmapsto (x + 3)^2\).)
1. Multiplier un nombre par 6, puis en prendre le septième.
  (Par exemple : \(x \longmapsto \frac{6x}{7}\).)
1. \(x \longmapsto 3(x - 2)^3\).
1. Tripler un nombre, élever le résultat au carré, puis soustraire 9.
  (Par exemple : \(x \longmapsto (3x)^2 - 9\).)

Réponse

Réponses : a) x ↦ 5x + 7
b) x ↦ (2x)/3
c) x ↦ 5(x – 6)
d) x ↦ (x + 4)²
e) x ↦ 7(x/4)
f) x ↦ x² + 3
g) x ↦ (x + 3)²
h) x ↦ (6x)/7
i) x ↦ 3(x – 2)³
j) x ↦ (3x)² – 9

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacun des énoncés :

1. a) Multiplier un nombre par 5, puis ajouter 7

Étapes de réflexion :
- Premièrement, multiplier le nombre \(x\) par 5 donne \(5x\).
- Ensuite, ajouter 7 à ce résultat conduit à \(5x + 7\).

Forme finale avec la notation fléchée :
\[ x \longmapsto 5x + 7 \]

2. b) \(x \longmapsto \frac{2x}{3}\)

Explication :
Ici, la transformation appliquée à un nombre \(x\) consiste à multiplier \(x\) par 2 puis à diviser le tout par 3. La fonction écrite est donc directement : \[ x \longmapsto \frac{2x}{3} \]

3. c) Soustraire 6 à un nombre, puis multiplier le résultat par 5

Étapes de réflexion :
- D’abord, soustraire 6 à \(x\), ce qui s’écrit \(x - 6\).
- Ensuite, multiplier ce résultat par 5 donne \(5(x - 6)\).

Forme finale avec la notation fléchée :
\[ x \longmapsto 5(x - 6) \]

4. d) \(x \longmapsto (x + 4)^2\)

Explication :
La fonction prend le nombre \(x\), lui ajoute 4, puis élève le résultat au carré. Ainsi, la notation fléchée reste inchangée : \[ x \longmapsto (x + 4)^2 \]

5. e) Diviser un nombre par 4, puis le multiplier par 7

Étapes de réflexion :
- Diviser \(x\) par 4 s’écrit \(\frac{x}{4}\).
- Multiplier ensuite ce quotient par 7 mène à \(7\left(\frac{x}{4}\right)\).

Forme finale avec la notation fléchée :
\[ x \longmapsto 7\left(\frac{x}{4}\right) \]

6. f) \(x \longmapsto x^2 + 3\)

Explication :
Cette fonction élève \(x\) au carré, puis ajoute 3 au résultat. La notation fléchée est directement : \[ x \longmapsto x^2 + 3 \]

7. g) Ajouter 3 à un nombre, puis en prendre le carré

Étapes de réflexion :
- Commencer par ajouter 3 à \(x\) donne \(x + 3\).
- Ensuite, élever ce résultat au carré conduit à \((x + 3)^2\).

Forme finale avec la notation fléchée :
\[ x \longmapsto (x + 3)^2 \]

8. h) Multiplier un nombre par 6, puis en prendre le septième

Étapes de réflexion :
- Multiplier \(x\) par 6 donne \(6x\).
- En prendre le septième revient à diviser \(6x\) par 7, soit \(\frac{6x}{7}\).

Forme finale avec la notation fléchée :
\[ x \longmapsto \frac{6x}{7} \]

9. i) \(x \longmapsto 3(x - 2)^3\)

Explication :
La fonction consiste à soustraire 2 de \(x\) puis à élever le résultat au cube, ensuite multiplier par 3. La notation fléchée est donc : \[ x \longmapsto 3(x - 2)^3 \]

10. j) Tripler un nombre, élever le résultat au carré, puis soustraire 9

Étapes de réflexion :
- Tripler le nombre \(x\) donne \(3x\).
- Élever ce résultat au carré conduit à \((3x)^2\).
- Enfin, soustraire 9 donne \((3x)^2 - 9\).

Forme finale avec la notation fléchée :
\[ x \longmapsto (3x)^2 - 9 \]

Chacune des expressions a été obtenue en appliquant étape par étape les opérations demandées sur le nombre \(x\). Cette méthode permet de visualiser le processus qui transforme \(x\) en le résultat souhaité.