Exercice 30
Exercice
- Associez chaque équation à son ensemble de solutions.
Équations : - (a) \(x = -3\) - (b)
\(x^2 = 9\) - (c) \(x^2 = -3x\) - (d) \(\frac{x}{-3} = 1\) - (e) \(-3x = -9x\) - (f) \(x^2 = 3x\) - (g) \(x - 3 = 0\) - (h) \(x(x^2 - 9) = 0\) - (i) \(x + 3 = x - 3\) - (j) \(x^3 - 9x = 0\) - (k) \(x - 3 = x + 3\) - (l) \((x+3)(x-3) = 0\) - (m) \(2x^2 - 18 = 0\) - (n) \(6x = 0\) - (o) \(3x - x^2 = 0\)
Ensembles de solutions : - \(S_{1} =
\{-3,\; 0,\; 3\}\) - \(S_{2} =
\{-3\}\) - \(S_{3} = \{-3,\;
0\}\) - \(S_{4} = \{0\}\) -
\(S_{5} = \{0,\; 3\}\) - \(S_{6} = \{3\}\) - \(S_{7} = \{-3,\; 3\}\) - \(S_{8} = \varnothing\)
- Déterminez les équations équivalentes.
Réponse
Réponse synthétique :
• Les équations (a) et (d) ont pour solution {–3}. • Les équations
(b), (l) et (m) ont pour solution {–3 ; 3}. • L’équation (c) a pour
solution {–3 ; 0} (aucune équation équivalente). • Les équations (e) et
(n) ont pour solution {0}. • Les équations (f) et (o) ont pour solution
{0 ; 3}. • L’équation (g) a pour solution {3} (aucune équation
équivalente). • Les équations (h) et (j) ont pour solution {–3 ; 0 ; 3}.
• Les équations (i) et (k) n’ont aucune solution.
Ainsi, les groupes d’équations équivalentes sont : (a) & (d) ;
(b), (l) & (m) ; (e) & (n) ; (f) & (o) ; (h) & (j) ; (i)
& (k).
Corrigé détaillé
Voici la correction détaillée de l’exercice.
Partie
1. Association des équations à leur ensemble de solutions
Nous avons plusieurs équations à analyser. Pour chacune, nous allons
déterminer l’ensemble des solutions, puis associer cet ensemble à l’un
des ensembles proposés.
Équation (a) : \(x =
-3\)
- Étude : L’équation indique directement que la seule
solution est \(x = -3\).
- Ensemble solution : \(\{-3\}\), ce qui correspond à \(S_{2}\).
Équation (b) : \(x^2
= 9\)
- Étude :
Pour résoudre \(x^2 = 9\), on peut
écrire
\[
x^2 - 9 = 0 \quad \text{ou} \quad (x-3)(x+3)=0.
\] On obtient ainsi : \[
x-3=0 \quad \text{ou} \quad x+3=0 \quad \Longrightarrow\quad x=3 \quad
\text{ou} \quad x=-3.
\]
- Ensemble solution : \(\{-3,\,3\}\), ce qui correspond à \(S_{7}\).
Équation (c) : \(x^2 = -3x\)
- Étude :
Amener tous les termes d’un côté : \[
x^2 + 3x = 0.
\] Factoriser par \(x\) : \[
x(x+3)=0.
\] D’où : \[
x=0 \quad \text{ou} \quad x+3=0\, (\text{i.e. } x=-3).
\]
- Ensemble solution : \(\{-3,\,0\}\), correspondant à \(S_{3}\).
Équation (d) : \(\frac{x}{-3} = 1\)
- Étude :
Multiplier chaque côté de l’équation par \(-3\) pour isoler \(x\) : \[
x = -3.
\]
- Ensemble solution : \(\{-3\}\), soit \(S_{2}\).
Équation (e) : \(-3x = -9x\)
- Étude :
Pour résoudre, ramenons tous les termes d’un côté : \[
-3x + 9x = 0 \quad \Longrightarrow\quad 6x=0.
\] Ainsi, \[
x=0.
\]
- Ensemble solution : \(\{0\}\), c’est-à-dire \(S_{4}\).
Équation (f) : \(x^2
= 3x\)
- Étude :
Amener tous les termes d’un côté : \[
x^2 - 3x = 0.
\] Factoriser par \(x\) : \[
x(x-3)=0,
\] ce qui donne : \[
x=0 \quad \text{ou} \quad x=3.
\]
- Ensemble solution : \(\{0,\,3\}\), correspondant à \(S_{5}\).
Équation (g) : \(x
- 3 = 0\)
- Étude :
On a \[
x=3.
\]
- Ensemble solution : \(\{3\}\), soit \(S_{6}\).
Équation (h) : \(x(x^2 - 9) = 0\)
- Étude :
Reconnaître que \(x^2 - 9\) est une
différence de carrés : \[
x(x-3)(x+3)=0.
\] On a alors : \[
x = 0, \quad x-3=0 \; (x=3), \quad x+3=0 \; (x=-3).
\]
- Ensemble solution : \(\{-3,\,0,\,3\}\), ce qui correspond à \(S_{1}\).
Équation (i) : \(x + 3 = x - 3\)
- Étude :
Soustraire \(x\) de chaque côté : \[
3 = -3,
\] ce qui est faux.
- Ensemble solution : Aucune solution, c’est-à-dire
l’ensemble vide \(\varnothing\) ou
\(S_{8}\).
Équation (j) : \(x^3 - 9x = 0\)
- Étude :
Factoriser en mettant \(x\) en facteur
: \[
x(x^2 - 9)=0.
\] Comme précédemment, \[
x(x-3)(x+3)=0,
\] donc \[
x=0, \quad x=3, \quad x=-3.
\]
- Ensemble solution : \(\{-3,\,0,\,3\}\), correspondant à \(S_{1}\).
Équation (k) : \(x - 3 = x + 3\)
- Étude :
En soustrayant \(x\) des deux côtés, on
obtient : \[
-3 = 3,
\] ce qui est faux.
- Ensemble solution : Aucune solution, donc \(S_{8}\).
Équation (l) : \((x+3)(x-3) = 0\)
- Étude :
L’équation se factorise déjà, donnant : \[
x+3=0 \quad \text{ou} \quad x-3=0,
\] donc \[
x=-3 \quad \text{ou} \quad x=3.
\]
- Ensemble solution : \(\{-3,\,3\}\), soit \(S_{7}\).
Équation (m) : \(2x^2 - 18 = 0\)
- Étude :
Diviser l’équation par 2 : \[
x^2 - 9 = 0.
\] Alors, \[
x^2=9 \quad \Longrightarrow \quad x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -3.
\]
- Ensemble solution : \(\{-3,\,3\}\), correspondant à \(S_{7}\).
Équation (n) : \(6x =
0\)
- Étude :
Diviser par 6 : \[
x=0.
\]
- Ensemble solution : \(\{0\}\), c’est-à-dire \(S_{4}\).
Équation (o) : \(3x - x^2 = 0\)
- Étude :
Factoriser en inversant l’ordre des termes si nécessaire : \[
-x^2+3x = 0 \quad \Longrightarrow \quad x(3-x)=0.
\] Ainsi, \[
x=0 \quad \text{ou} \quad 3-x=0\,(x=3).
\]
- Ensemble solution : \(\{0,\,3\}\), soit \(S_{5}\).
Récapitulatif des
associations
- \(S_{1} = \{-3,\,0,\,3\}\)
: équations (h) et (j).
- \(S_{2} = \{-3\}\)
: équations (a) et (d).
- \(S_{3} = \{-3,\,0\}\)
: équation (c).
- \(S_{4} = \{0\}\)
: équations (e) et (n).
- \(S_{5} = \{0,\,3\}\)
: équations (f) et (o).
- \(S_{6} = \{3\}\)
: équation (g).
- \(S_{7} = \{-3,\,3\}\)
: équations (b), (l) et (m).
- \(S_{8} = \varnothing\)
: équations (i) et (k).
Partie 2.
Détermination des équations équivalentes
Deux équations sont dit « équivalentes » lorsqu’elles ont le même
ensemble de solutions. En regroupant les équations avec la même
solution, on obtient :
- Ensemble \(S_{1} =
\{-3,\,0,\,3\}\) :
- Ensemble \(S_{2} = \{-3\}\)
:
- Ensemble \(S_{4} = \{0\}\)
:
- Ensemble \(S_{5} =
\{0,\,3\}\) :
- Ensemble \(S_{7} =
\{-3,\,3\}\) :
- Équations (b), (l) et (m).
- Ensemble \(S_{8} =
\varnothing\) :
Remarque : Les équations (c) (\(S_{3} = \{-3,\,0\}\)) et (g) (\(S_{6} = \{3\}\)) n’ont pas d’équation
équivalente dans la liste (elles sont isolées).
Conclusion
Les équations équivalentes sont :
- (a) et (d)
- (e) et (n)
- (f) et (o)
- (b), (l) et (m)
- (h) et (j)
- (i) et (k)
Chaque groupe ci-dessus correspond à un même ensemble de
solutions.
Cette correction détaillée présente les démarches pas à pas afin de
bien comprendre comment obtenir l’ensemble solution de chaque équation
et identifier celles qui sont équivalentes.