Exercice 29

Exercice
Pour chacun des exemples suivants, déterminez la ou les valeur(s) de \(x\) (et de \(y\) si besoin) qui rendent l’égalité vraie.

\(15 + x = 37\)
\(5x = 35\)
\(2x + 6 = x + 9\)
\(x^2 + 3 = 52\)
\(3x + 4y = 24\)
\(24 = 3(x+2)\)
\(4(x+5) = 4x + 20\)
\(x + 10 = 2x\)
\(\displaystyle \frac{x}{15} = 2\)
\(2^x = 128\)
\(x^3 = 9x\)
\(5x - 8 = 12 + 3x\)
\(x^2 = 16 - 4x\)
\(xy = 15\)
\(x + 3 = x + 5\)

Réponse

x = 22
x = 7
x = 3
x = 7 ou x = -7
x = (24 – 4y)/3
x = 6
x ∈ ℝ
x = 10
x = 30
x = 7
x = -3, 0 ou 3
x = 10
x = -2 ± 2√5
y = 15/x (avec x ≠ 0)
Aucune solution

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque point :

a) \(15 + x = 37\)

Étape 1 :
Isoler \(x\) en soustrayant 15 des deux côtés :

\[ 15 + x - 15 = 37 - 15 \]

Étape 2 :
Cela donne :

\[ x = 22 \]

Conclusion :
La solution est \(\boxed{x = 22}\).

b) \(5x = 35\)

Étape 1 :
Pour isoler \(x\), on divise les deux côtés par 5 :

\[ \frac{5x}{5} = \frac{35}{5} \]

Étape 2 :
Ce qui donne :

\[ x = 7 \]

Conclusion :
La solution est \(\boxed{x = 7}\).

c) \(2x + 6 = x + 9\)

Étape 1 :
Soustraire \(x\) des deux côtés pour regrouper les termes en \(x\) :

\[ 2x + 6 - x = x + 9 - x \] \[ x + 6 = 9 \]

Étape 2 :
Soustraire 6 des deux côtés :

\[ x = 9 - 6 \] \[ x = 3 \]

Conclusion :
La solution est \(\boxed{x = 3}\).

d) \(x^2 + 3 = 52\)

Étape 1 :
Soustraire 3 des deux côtés pour isoler \(x^2\) :

\[ x^2 + 3 - 3 = 52 - 3 \] \[ x^2 = 49 \]

Étape 2 :
Résoudre \(x^2 = 49\) en prenant la racine carrée :

\[ x = \sqrt{49} \quad \text{ou} \quad x = -\sqrt{49} \] \[ x = 7 \quad \text{ou} \quad x = -7 \]

Conclusion :
Les solutions sont \(\boxed{x = 7 \text{ ou } x = -7}\).

e) \(3x + 4y = 24\)

Ici, nous avons une équation à deux inconnues. La solution générale consiste à exprimer l’une des variables en fonction de l’autre.

Étape 1 :
Isoler \(x\) par exemple :

\[ 3x = 24 - 4y \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{24 - 4y}{3} \]

Conclusion :
La solution générale est :
\[ \boxed{x = \frac{24 - 4y}{3}, \quad y \in \mathbb{R}} \]

On peut aussi choisir d’exprimer \(y\) en fonction de \(x\) :

\[ 4y = 24 - 3x \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{24 - 3x}{4} \]

f) \(24 = 3(x+2)\)

Étape 1 :
Développer le côté droit :

\[ 24 = 3x + 6 \]

Étape 2 :
Soustraire 6 des deux côtés :

\[ 24 - 6 = 3x \] \[ 18 = 3x \]

Étape 3 :
Diviser par 3 :

\[ x = \frac{18}{3} = 6 \]

Conclusion :
La solution est \(\boxed{x = 6}\).

g) \(4(x+5) = 4x + 20\)

Étape 1 :
Développer le côté gauche :

\[ 4x + 20 = 4x + 20 \]

Étape 2 :
On constate que les deux côtés sont identiques.

Conclusion :
L’égalité est vraie pour tout \(x \in \mathbb{R}\), c’est une identité.
La solution est : \(\boxed{x \in \mathbb{R}}\).

h) \(x + 10 = 2x\)

Étape 1 :
Soustraire \(x\) des deux côtés pour regrouper les \(x\) :

\[ x + 10 - x = 2x - x \] \[ 10 = x \]

Conclusion :
La solution est \(\boxed{x = 10}\).

k) \(\displaystyle \frac{x}{15} = 2\)

Étape 1 :
Multiplier les deux côtés par 15 :

\[ x = 2 \times 15 \] \[ x = 30 \]

Conclusion :
La solution est \(\boxed{x = 30}\).

l) \(2^x = 128\)

Étape 1 :
Exprimer 128 comme une puissance de 2. Sachant que :

\[ 128 = 2^7 \]

Étape 2 :
On a donc :

\[ 2^x = 2^7 \]

Étape 3 :
Les exposants doivent être égaux :

\[ x = 7 \]

Conclusion :
La solution est \(\boxed{x = 7}\).

i) \(x^3 = 9x\)

Étape 1 :
Réorganiser l’équation en ramenant tous les termes d’un côté :

\[ x^3 - 9x = 0 \]

Étape 2 :
Factoriser par \(x\) :

\[ x(x^2 - 9) = 0 \]

Étape 3 :
Reconnaître que \(x^2 - 9\) est une différence de carrés :

\[ x(x-3)(x+3) = 0 \]

Étape 4 :
Appliquer la règle du produit nul :

\[ x = 0, \quad x - 3 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 3 = 0 \] \[ x = 0, \quad x = 3, \quad x = -3 \]

Conclusion :
Les solutions sont \(\boxed{x = -3, \; 0, \; 3}\).

j) \(5x - 8 = 12 + 3x\)

Étape 1 :
Soustraire \(3x\) des deux côtés :

\[ 5x - 8 - 3x = 12 + 3x - 3x \] \[ 2x - 8 = 12 \]

Étape 2 :
Ajouter 8 aux deux côtés :

\[ 2x = 12 + 8 = 20 \]

Étape 3 :
Diviser par 2 :

\[ x = \frac{20}{2} = 10 \]

Conclusion :
La solution est \(\boxed{x = 10}\).

m) \(x^2 = 16 - 4x\)

Étape 1 :
Ranger tous les termes dans un même côté :

\[ x^2 + 4x - 16 = 0 \]

Étape 2 :
Utiliser la formule du discriminant pour résoudre l’équation quadratique.
La formule générale est :

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Ici, \(a = 1\), \(b = 4\) et \(c = -16\).

Étape 3 :
Calculer le discriminant :

\[ \Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 1 \times (-16) = 16 + 64 = 80 \]

Étape 4 :
Calculer \(x\) :

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{80}}{2} \]

Simplifier \(\sqrt{80}\) :

\[ \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5} \]

Ainsi :

\[ x = \frac{-4 \pm 4\sqrt{5}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{5} \]

Conclusion :
Les solutions sont \(\boxed{x = -2 + 2\sqrt{5} \quad \text{et} \quad x = -2 - 2\sqrt{5}}\).

n) \(xy = 15\)

Ici, on a une équation avec deux inconnues.

Étape 1 :
Exprimer \(y\) en fonction de \(x\) :

\[ y = \frac{15}{x} \quad \text{avec } x \neq 0 \]

Conclusion :
La solution générale est :
\[ \boxed{y = \frac{15}{x}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}} \]

On peut également exprimer \(x\) en fonction de \(y\) :

\[ x = \frac{15}{y}, \quad y \neq 0 \]

o) \(x + 3 = x + 5\)

Étape 1 :
Soustraire \(x\) des deux côtés :

\[ x + 3 - x = x + 5 - x \] \[ 3 = 5 \]

Étape 2 :
L’égalité \(3 = 5\) est fausse.

Conclusion :
Il n’existe aucune valeur de \(x\) qui rende cette égalité vraie.
La solution est \(\boxed{\text{aucune solution}}\).

Ainsi se terminent les corrections détaillées de chaque partie de l’exercice.