Exercice 26
Question : Développez et réduisez les expressions suivantes
:
- \((a+2)(b+3)\)
- \(3(7+6x)\)
- \((x+9)(x-9)\)
- \(\left(y+\frac{3}{4}\right)(y-1)\)
- \(\left(x^2+2\right)(x+4)\)
- \(\left(x^2+4\right)\left(x^2+2x-1\right)\)
- \((y+2)(y^2+2y+1)\)
- \((x+4)^2\)
- \((5+x)(5-x)\)
Réponse
Voici les réponses finales :
- ab + 3a + 2b + 6
- 21 + 18x
- x² - 81
- y² - ¼y - ¾
- x³ + 4x² + 2x + 8
- x⁴ + 2x³ + 3x² + 8x - 4
- y³ + 4y² + 5y + 2
- x² + 8x + 16
- 25 - x²
Corrigé détaillé
Voici la correction détaillée de chaque expression :
a) Développer \((a+2)(b+3)\)
Étapes :
- Multiplier chaque terme de la première parenthèse par chaque terme
de la deuxième parenthèse (méthode de la distributivité ou méthode FOIL)
: \[
(a+2)(b+3) = a \times b + a \times 3 + 2 \times b + 2 \times 3
\]
- Calculer chaque multiplication : \[
= ab + 3a + 2b + 6
\]
Réponse finale : \[
ab + 3a + 2b + 6
\]
b) Développer \(3(7+6x)\)
Étapes :
- Distribuer le 3 à chacun des termes à l’intérieur de la parenthèse :
\[
3(7+6x) = 3 \times 7 + 3 \times 6x
\]
- Effectuer les multiplications : \[
= 21 + 18x
\]
Réponse finale : \[
21 + 18x
\]
c) Développer \((x+9)(x-9)\)
Étapes :
- Observer que cette expression est de la forme \((A+B)(A-B)\), ce qui correspond à la
formule : \[
(A+B)(A-B) = A^2 - B^2
\] avec \(A=x\) et \(B=9\).
- Appliquer la formule : \[
= x^2 - 9^2 = x^2 - 81
\]
Réponse finale : \[
x^2 - 81
\]
d) Développer \(\left(y+\frac{3}{4}\right)(y-1)\)
Étapes :
- Distribuer chaque terme de la première parenthèse par chaque terme
de la deuxième parenthèse : \[
\left(y+\frac{3}{4}\right)(y-1) = y \cdot y + y \cdot (-1) +
\frac{3}{4}\cdot y + \frac{3}{4}\cdot (-1)
\]
- Simplifier chaque multiplication : \[
= y^2 - y + \frac{3}{4}y - \frac{3}{4}
\]
- Pour simplifier, regrouper les termes semblables en \(y\). Remarquons que : \[
- y + \frac{3}{4}y = -\frac{4}{4}y + \frac{3}{4}y = -\frac{1}{4}y
\]
- L’expression devient : \[
= y^2 - \frac{1}{4}y - \frac{3}{4}
\]
Réponse finale : \[
y^2 - \frac{1}{4}y - \frac{3}{4}
\]
e) Développer \(\left(x^2+2\right)(x+4)\)
Étapes :
- Utiliser la distributivité : \[
(x^2+2)(x+4) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot 4 + 2 \cdot x + 2 \cdot 4
\]
- Calculer les multiplications : \[
= x^3 + 4x^2 + 2x + 8
\]
Réponse finale : \[
x^3 + 4x^2 + 2x + 8
\]
f) Développer \(\left(x^2+4\right)\left(x^2+2x-1\right)\)
Étapes :
- Distribuer chaque terme de la première parenthèse par chacun dans la
deuxième : \[
\begin{aligned}
(x^2+4)(x^2+2x-1) &= x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot 2x + x^2 \cdot (-1)
\\
&\quad + \; 4 \cdot x^2 + 4 \cdot 2x + 4 \cdot (-1)
\end{aligned}
\]
- Calculer les multiplications : \[
= x^4 + 2x^3 - x^2 + 4x^2 + 8x - 4
\]
- Regrouper les termes semblables : \[
- x^2 + 4x^2 = 3x^2
\]
- L’expression devient : \[
= x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 8x - 4
\]
Réponse finale : \[
x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 8x - 4
\]
g) Développer \((y+2)(y^2+2y+1)\)
Étapes :
- Utiliser la distributivité : \[
(y+2)(y^2+2y+1) = y \cdot (y^2+2y+1) + 2 \cdot (y^2+2y+1)
\]
- Développer les deux parties : \[
\begin{aligned}
y \cdot (y^2+2y+1) &= y^3 + 2y^2 + y, \\
2 \cdot (y^2+2y+1) &= 2y^2 + 4y + 2.
\end{aligned}
\]
- Additionner les deux résultats : \[
= y^3 + (2y^2 + 2y^2) + (y + 4y) + 2 = y^3 + 4y^2 + 5y + 2.
\]
Réponse finale : \[
y^3 + 4y^2 + 5y + 2
\]
h) Développer \((x+4)^2\)
Étapes :
- Rappeler que \((x+4)^2\) signifie
\((x+4)(x+4)\).
- Appliquer la méthode de développement (utiliser FOIL) : \[
(x+4)(x+4) = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 \cdot x + 4 \cdot 4
\]
- Calculer chaque multiplication : \[
= x^2 + 4x + 4x + 16
\]
- Regrouper les termes semblables : \[
= x^2 + 8x + 16
\]
Réponse finale : \[
x^2 + 8x + 16
\]
i) Développer \((5+x)(5-x)\)
Étapes :
- Remarquer que cette expression correspond à la forme \((A+B)(A-B) = A^2 - B^2\), ici \(A=5\) et \(B=x\).
- Appliquer la formule : \[
= 5^2 - x^2 = 25 - x^2
\]
Réponse finale : \[
25 - x^2
\]
Ces développements permettent de voir clairement la méthode utilisée
pour chaque expression. Chaque étape a été expliquée en détail pour
faciliter la compréhension.