Exercice 25

Soit les six polynômes suivants :

Effectuez les opérations, réduisez et ordonnez les polynômes obtenus :

  1. \(A + C\)
  2. \(A - C\)
  3. \(A + B + E\)
  4. \(D + F\)
  5. \(D - E\)
  6. \(C - A + B\)
  7. \(E + B\)
  8. \(B + F\)
  9. \(F - (D + B)\)
  10. \(B - C\)
  11. \(F - D\)
  12. \(D - (B - E)\)

Réponse

Voici la synthèse des résultats obtenus :

  1. A + C = 4x + 1
  2. A – C = –2x + 3
  3. A + B + E = 3x² + 3x – 6
  4. D + F = –3x³ – x² + 5x – 3
  5. D – E = –x³ – 2x² + x + 3
  6. C – A + B = x² + 4x – 6
  7. E + B = 3x² + 2x – 8
  8. B + F = –2x³ + 6x – 4
  9. F – (D + B) = –x³ – 2x² + x + 4
  10. B – C = x² – x – 2
  11. F – D = –x³ – x² + 3x + 1
  12. D – (B – E) = –x³ + x² – x – 4

Corrigé détaillé

Voici la correction complète en détail de chaque opération :

Enoncé des polynômes

On vous donne les six polynômes :

1. Calcul de \(A + C\)

Nous avons : \[ A + C = (x+2) + (3x-1) \]

Étapes :

Résultat : \[ A + C = 4x + 1 \]

2. Calcul de \(A - C\)

Nous avons : \[ A - C = (x+2) - (3x-1) \]

Étapes :

Résultat : \[ A - C = -2x + 3 \]

3. Calcul de \(A + B + E\)

Nous avons : \[ A + B + E = (x+2) + (x^2+2x-3) + (2x^2-5) \]

Étapes :

  1. Regroupons les termes en \(x^2\) : \[ x^2 + 2x^2 = 3x^2 \]
  2. Regroupons les termes en \(x\) : \[ x + 2x = 3x \]
  3. Regroupons les constantes : \[ 2 - 3 - 5 = -6 \]

Résultat : \[ A + B + E = 3x^2 + 3x - 6 \]

4. Calcul de \(D + F\)

Nous avons : \[ D + F = (-x^3+x-2) + (-2x^3-x^2+4x-1) \]

Étapes :

  1. Termes en \(x^3\) : \[ -x^3 + (-2x^3) = -3x^3 \]
  2. Termes en \(x^2\) : \[ -x^2 \quad (\text{seul dans } F) \]
  3. Termes en \(x\) : \[ x + 4x = 5x \]
  4. Termes constants : \[ -2 - 1 = -3 \]

Résultat : \[ D + F = -3x^3 - x^2 + 5x - 3 \]

5. Calcul de \(D - E\)

Nous avons : \[ D - E = (-x^3+x-2) - (2x^2-5) \]

Étapes :

  1. Distribuer le signe négatif sur \(E\) : \[ -x^3 + x - 2 - 2x^2 + 5 \]
  2. Regrouper les termes semblables :
    • Terme en \(x^3\) : \(-x^3\)
    • Terme en \(x^2\) : \(-2x^2\)
    • Terme en \(x\) : \(x\)
    • Termes constants : \(-2 + 5 = 3\)

Résultat : \[ D - E = -x^3 - 2x^2 + x + 3 \]

6. Calcul de \(C - A + B\)

Nous avons : \[ C - A + B = (3x-1) - (x+2) + (x^2+2x-3) \]

Étapes :

  1. Calcul de \(C - A\) : \[ (3x-1) - (x+2) = 3x - 1 - x - 2 = 2x - 3 \]
  2. Ajout de \(B\) : \[ (2x-3) + (x^2+2x-3) \]
  3. Regrouper les termes semblables :
    • Terme en \(x^2\) : \(x^2\)
    • Termes en \(x\) : \(2x+2x = 4x\)
    • Termes constants : \(-3-3 = -6\)

Résultat : \[ C - A + B = x^2 + 4x - 6 \]

7. Calcul de \(E + B\)

Nous avons : \[ E + B = (2x^2-5) + (x^2+2x-3) \]

Étapes :

  1. Termes en \(x^2\) : \[ 2x^2 + x^2 = 3x^2 \]
  2. Terme en \(x\) : \[ 2x \quad (\text{seul présent dans } B) \]
  3. Termes constants : \[ -5 - 3 = -8 \]

Résultat : \[ E + B = 3x^2 + 2x - 8 \]

8. Calcul de \(B + F\)

Nous avons : \[ B + F = (x^2+2x-3) + (-2x^3-x^2+4x-1) \]

Étapes :

  1. Termes en \(x^3\) : \[ -2x^3 \quad (\text{seul dans } F) \]
  2. Termes en \(x^2\) : \[ x^2 - x^2 = 0 \]
  3. Termes en \(x\) : \[ 2x + 4x = 6x \]
  4. Termes constants : \[ -3 - 1 = -4 \]

Résultat : \[ B + F = -2x^3 + 6x - 4 \]

9. Calcul de \(F - (D + B)\)

Première étape : calculer \(D + B\)

On a : \[ D + B = (-x^3+x-2) + (x^2+2x-3) \]

Étapes pour \(D + B\) :

  1. Terme en \(x^3\) : \[ -x^3 \]
  2. Terme en \(x^2\) : \[ x^2 \quad (\text{seul dans } B) \]
  3. Terme en \(x\) : \[ x + 2x = 3x \]
  4. Termes constants : \[ -2 - 3 = -5 \]

Ainsi : \[ D + B = -x^3 + x^2 + 3x - 5 \]

Seconde étape : \(F - (D+B)\)

\[ F - (D+B) = (-2x^3 - x^2 + 4x - 1) - (-x^3+x^2+3x-5) \]

Étapes :

  1. Distribuer le signe négatif : \[ -2x^3 - x^2 + 4x - 1 + x^3 - x^2 - 3x + 5 \]
  2. Regrouper les termes semblables :
    • Terme en \(x^3\) : \(-2x^3 + x^3 = -x^3\)
    • Termes en \(x^2\) : \(-x^2 - x^2 = -2x^2\)
    • Termes en \(x\) : \(4x - 3x = x\)
    • Constantes : \(-1 + 5 = 4\)

Résultat : \[ F - (D+B) = -x^3 - 2x^2 + x + 4 \]

10. Calcul de \(B - C\)

Nous avons : \[ B - C = (x^2+2x-3) - (3x-1) \]

Étapes :

  1. Distribuer le signe négatif : \[ x^2 + 2x - 3 - 3x + 1 \]
  2. Regrouper les termes semblables :
    • Terme en \(x^2\) reste \(x^2\)
    • Termes en \(x\) : \(2x - 3x = -x\)
    • Constantes : \(-3+1 = -2\)

Résultat : \[ B - C = x^2 - x - 2 \]

11. Calcul de \(F - D\)

Nous avons : \[ F - D = (-2x^3 - x^2 + 4x - 1) - (-x^3+x-2) \]

Étapes :

  1. Distribuer le signe négatif à \(D\) : \[ -2x^3 - x^2 + 4x - 1 + x^3 - x + 2 \]
  2. Regrouper les termes semblables :
    • Terme en \(x^3\) : \(-2x^3 + x^3 = -x^3\)
    • Terme en \(x^2\) : \(-x^2\)
    • Terme en \(x\) : \(4x - x = 3x\)
    • Termes constants : \(-1 + 2 = 1\)

Résultat : \[ F - D = -x^3 - x^2 + 3x + 1 \]

12. Calcul de \(D - (B - E)\)

Première étape : calculer \(B - E\)

Nous avons : \[ B - E = (x^2+2x-3) - (2x^2-5) \]

Étapes pour \(B - E\) :

  1. Distribuer le signe négatif : \[ x^2 + 2x - 3 - 2x^2 + 5 \]
  2. Regrouper les termes semblables :
    • Terme en \(x^2\) : \(x^2 - 2x^2 = -x^2\)
    • Terme en \(x\) : \(2x\)
    • Termes constants : \(-3 + 5 = 2\)

Ainsi : \[ B - E = -x^2 + 2x + 2 \]

Seconde étape : \(D - (B-E)\)

Nous avons : \[ D - (B-E) = (-x^3+x-2) - (-x^2+2x+2) \]

Étapes :

  1. Distribuer le signe négatif : \[ -x^3+x-2 + x^2 -2x -2 \]
  2. Regrouper les termes semblables :
    • Terme en \(x^3\) : \(-x^3\)
    • Terme en \(x^2\) : \(+x^2\)
    • Terme en \(x\) : \(x - 2x = -x\)
    • Termes constants : \(-2 -2 = -4\)

Résultat : \[ D - (B-E) = -x^3 + x^2 - x - 4 \]

Récapitulatif des résultats

  1. \(A + C = 4x + 1\)
  2. \(A - C = -2x + 3\)
  3. \(A + B + E = 3x^2 + 3x - 6\)
  4. \(D + F = -3x^3 - x^2 + 5x - 3\)
  5. \(D - E = -x^3 - 2x^2 + x + 3\)
  6. \(C - A + B = x^2 + 4x - 6\)
  7. \(E + B = 3x^2 + 2x - 8\)
  8. \(B + F = -2x^3 + 6x - 4\)
  9. \(F - (D+B) = -x^3 - 2x^2 + x + 4\)
  10. \(B - C = x^2 - x - 2\)
  11. \(F - D = -x^3 - x^2 + 3x + 1\)
  12. \(D - (B-E) = -x^3 + x^2 - x - 4\)

Chaque opération a été effectuée en regroupant soigneusement les termes semblables et en appliquant la distributivité des signes. Cette démarche permet de réduire et d’ordonner les polynômes obtenus de manière claire et structurée.

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