Soit les polynômes suivants : \[ A = 3x + 1,\quad B = 3x^2 + 4x,\quad C = 3x^3 + 2x^2 + x + 2, \] \[ D = x^3 - 3x^2,\quad E = 2x - 5,\quad F = x^2 + 3x + 1. \]
Effectuez les opérations suivantes en réduisant et en ordonnant les termes :
Réponses : 1. A + E = 5x – 4
2. A – B = –3x² – x + 1
3. B + F = 4x² + 7x + 1
4. D + E – F = x³ – 4x² – x – 6
5. C – D = 2x³ + 5x² + x + 2
6. C + E = 3x³ + 2x² + 3x – 3
Voici la correction détaillée des opérations sur les polynômes.
Données du problème :
On nous donne les polynômes suivants : \[ \begin{array}{rcl} A &=& 3x + 1, \\ B &=& 3x^2 + 4x, \\ C &=& 3x^3 + 2x^2 + x + 2, \\ D &=& x^3 - 3x^2, \\ E &=& 2x - 5, \\ F &=& x^2 + 3x + 1. \end{array} \]
Nous devons effectuer les opérations suivantes et donner le résultat sous forme réduite et avec les termes classés par ordre décroissant de degré :
Nous avons : \[ A = 3x + 1 \quad \text{et} \quad E = 2x - 5. \]
Additionnons ces polynômes en regroupant les termes semblables :
Ainsi, on obtient : \[ A + E = 5x - 4. \]
Nous avons : \[ A = 3x + 1 \quad \text{et} \quad B = 3x^2 + 4x. \]
Pour soustraire \(B\) de \(A\), on écrit : \[ A - B = (3x + 1) - (3x^2 + 4x). \]
Regroupons les termes semblables en faisant attention aux signes : - Il n’y a pas de terme en \(x^2\) dans \(A\), donc la soustraction donne : \(0 - 3x^2 = -3x^2\). - Pour les termes en \(x\) : \(3x - 4x = -x\). - La constante reste \(+1\).
Le résultat final est : \[ A - B = -3x^2 - x + 1. \]
On écrit : \[ B = 3x^2 + 4x \quad \text{et} \quad F = x^2 + 3x + 1. \]
Additionnons les deux polynômes : - Les termes en \(x^2\) : \(3x^2 + x^2 = 4x^2\). - Les termes en \(x\) : \(4x + 3x = 7x\). - La constante : \(0 + 1 = 1\) (puisqu’il n’y avait pas de constante dans \(B\)).
On obtient donc : \[ B + F = 4x^2 + 7x + 1. \]
Les polynômes sont : \[ \begin{aligned} D &= x^3 - 3x^2, \\ E &= 2x - 5, \\ F &= x^2 + 3x + 1. \end{aligned} \]
Écrivons l’expression complète et procédons à la soustraction : \[ D + E - F = (x^3 - 3x^2) + (2x - 5) - (x^2 + 3x + 1). \]
Regroupons les termes semblables : - Terme en \(x^3\) : \(x^3\) (il n’y a aucun autre terme en \(x^3\)). - Termes en \(x^2\) : \(-3x^2 - x^2 = -4x^2\). - Termes en \(x\) : \(2x - 3x = -x\). - Termes constants : \(-5 - 1 = -6\).
Le résultat est donc : \[ D + E - F = x^3 - 4x^2 - x - 6. \]
On a : \[ \begin{aligned} C &= 3x^3 + 2x^2 + x + 2, \\ D &= x^3 - 3x^2. \end{aligned} \]
Soustrayons \(D\) de \(C\) : \[ C - D = \bigl(3x^3 + 2x^2 + x + 2\bigr) - \bigl(x^3 - 3x^2\bigr). \]
En développant, on obtient : - \(3x^3 - x^3 = 2x^3\). - \(2x^2 - (-3x^2) = 2x^2 + 3x^2 = 5x^2\). - Le terme en \(x\) reste \(+ x\). - La constante reste \(+ 2\).
Ainsi : \[ C - D = 2x^3 + 5x^2 + x + 2. \]
Les polynômes sont : \[ C = 3x^3 + 2x^2 + x + 2 \quad \text{et} \quad E = 2x - 5. \]
Additionnons ces polynômes : - Le terme en \(x^3\) : \(3x^3\) (seul terme de degré 3). - Le terme en \(x^2\) : \(2x^2\) (seul terme de degré 2). - Les termes en \(x\) : \(x + 2x = 3x\). - La constante : \(2 - 5 = -3\).
Le résultat final est : \[ C + E = 3x^3 + 2x^2 + 3x - 3. \]
Résumé des réponses :
Chaque étape a consisté à regrouper les termes du même degré pour obtenir des expressions simplifiées et correctement ordonnées en fonction du degré décroissant.