Exercice 22

Question : Soit les polynômes suivants :
\[ A = 4m^2 - 3m + 8, \] \[ C = -2m^3 + \frac{5}{6} m - 7, \] \[ E = \frac{3}{5}x^2 - 2x, \] \[ B = 10m - \frac{8}{3}, \] \[ D = -1 + \pi x. \]

Déterminez leurs polynômes opposés.

Réponse

Opposé de A : -4m² + 3m - 8
Opposé de B : -10m + 8/3
Opposé de C : 2m³ - (5/6)m + 7
Opposé de D : 1 - πx
Opposé de E : - (3/5)x² + 2x

Corrigé détaillé

Nous allons déterminer l’opposé de chaque polynôme. Pour tout polynôme \(P\), son opposé est obtenu en multipliant chacun de ses termes par \(-1\). Autrement dit, si
\[ P = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \dots + a_1 X + a_0, \] alors
\[ -P = -a_n X^n - a_{n-1} X^{n-1} - \dots - a_1 X - a_0. \]

Nous appliquons cette règle à chacun des polynômes donnés.

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1. Pour le polynôme \(A\)

On a
\[ A = 4m^2 - 3m + 8. \]

L’opposé de \(A\) est obtenu en multipliant chaque terme par \(-1\) : \[ -A = -4m^2 + 3m - 8. \]

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2. Pour le polynôme \(C\)

On a
\[ C = -2m^3 + \frac{5}{6}m - 7. \]

Multiplier chaque terme par \(-1\) donne : \[ -C = 2m^3 - \frac{5}{6}m + 7. \]

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3. Pour le polynôme \(E\)

On a
\[ E = \frac{3}{5}x^2 - 2x. \]

En multipliant par \(-1\), nous obtenons : \[ -E = -\frac{3}{5}x^2 + 2x. \]

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4. Pour le polynôme \(B\)

On a
\[ B = 10m - \frac{8}{3}. \]

L’opposé de \(B\) est : \[ -B = -10m + \frac{8}{3}. \]

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5. Pour le polynôme \(D\)

On a
\[ D = -1 + \pi x. \]

En multipliant chaque terme par \(-1\), on trouve : \[ -D = 1 - \pi x. \]

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Résumé des opposés

Les polynômes opposés sont :

• Opposé de \(A\) : \(\displaystyle -4m^2 + 3m - 8\).
• Opposé de \(C\) : \(\displaystyle 2m^3 - \frac{5}{6}m + 7\).
• Opposé de \(E\) : \(\displaystyle -\frac{3}{5}x^2 + 2x\).
• Opposé de \(B\) : \(\displaystyle -10m + \frac{8}{3}\).
• Opposé de \(D\) : \(\displaystyle 1 - \pi x\).

Chaque résultat a été obtenu simplement en changeant le signe de tous les termes du polynôme initial.