Exercice 21

Exercice

Considère les deux expressions suivantes :

1. \((18x + 7) + (4x - 3)\)
2. \((20x + 12) - (6x - 7)\)

1. Calcule la valeur de chacune de ces expressions pour \(x = 2\).

2. Réduis chaque expression, puis calcule leur valeur pour \(x = 2\). Le résultat obtenu est-il identique à celui de la question a) ?

3. D’après tes observations, formule une règle pour additionner et soustraire des polynômes.

Réponse

1. Pour x = 2, (18x + 7) + (4x - 3) = 48 et (20x + 12) - (6x - 7) = 47.
   
2. Après simplification : 22x + 4 et 14x + 19, qui donnent aussi 48 et 47 pour x = 2.
   
3. Règle : distribuer les signes, regrouper les termes semblables et additionner ou soustraire leurs coefficients.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Énoncé de l’exercice

On considère les deux expressions suivantes :

1. \((18x + 7) + (4x - 3)\)
2. \((20x + 12) - (6x - 7)\)

On nous demande de :

1. Calculer la valeur de chacune de ces expressions pour \(x = 2\).

2. Réduire chaque expression (c.-à-d. rassembler les termes semblables) puis de nouveau calculer leur valeur pour \(x = 2\) et comparer avec les résultats de la question a).

3. En déduire une règle pour additionner et soustraire des polynômes.

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Partie a)

Expression 1 : \((18x + 7) + (4x - 3)\)

Pour \(x = 2\) :

1. Remplaçons \(x\) par \(2\) dans chaque parenthèse :
   • \(18x + 7\) devient \(18 \times 2 + 7 = 36 + 7 = 43\).
   • \(4x - 3\) devient \(4 \times 2 - 3 = 8 - 3 = 5\).
2. Additionnons les deux résultats : \[ 43 + 5 = 48. \]

Expression 2 : \((20x + 12) - (6x - 7)\)

Pour \(x = 2\) :

1. Remplaçons \(x\) par \(2\) dans chaque parenthèse :
   • \(20x + 12\) devient \(20 \times 2 + 12 = 40 + 12 = 52\).
   • \(6x - 7\) devient \(6 \times 2 - 7 = 12 - 7 = 5\).
2. Effectuons la soustraction : \[ 52 - 5 = 47. \]

Résultats de la partie a) :

• Pour la première expression : \(48\).
• Pour la deuxième expression : \(47\).

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Partie b)

Réduction des expressions en rassemblant les termes semblables

Expression 1 : \((18x + 7) + (4x - 3)\)

1. Rassemblons les termes en \(x\) : \[ 18x + 4x = (18 + 4)x = 22x. \]
2. Rassemblons les termes constants : \[ 7 - 3 = 4. \]
3. L’expression réduite est donc : \[ 22x + 4. \]

Calcul pour \(x = 2\) : \[ 22 \times 2 + 4 = 44 + 4 = 48. \]

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Expression 2 : \((20x + 12) - (6x - 7)\)

1. Distribuons le signe « moins » devant la seconde parenthèse : \[ (20x + 12) - 6x + 7. \]
2. Rassemblons les termes en \(x\) : \[ 20x - 6x = 14x. \]
3. Rassemblons les termes constants : \[ 12 + 7 = 19. \]
4. L’expression réduite est donc : \[ 14x + 19. \]

Calcul pour \(x = 2\) : \[ 14 \times 2 + 19 = 28 + 19 = 47. \]

Conclusion de la partie b) :

Les valeurs obtenues en utilisant les expressions réduites pour \(x = 2\) sont bien les mêmes que celles obtenues en partie a) : - Expression 1 : \(48\) - Expression 2 : \(47\).

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Partie c)

Règle pour additionner et soustraire des polynômes

Règle générale :

Pour additionner ou soustraire des polynômes :

1. Rassemblement des parenthèses :
   Si l’expression comporte des parenthèses, commence par développer ces dernières en appliquant la distributivité du signe devant la parenthèse (en particulier lorsqu’il y a une soustraction).

2. Identification des termes semblables :
   Les termes semblables sont ceux qui possèdent la même variable élevée au même exposant.

3. Addition ou soustraction des coefficients :
   Additionne (ou soustrais) les coefficients des termes semblables.

4. Écriture du polynôme réduit :
   Regroupe ainsi l’expression sous forme réduite, simplifiée.

Exemple avec l’expression 2 :
\[ (20x + 12) - (6x - 7) \quad \Rightarrow \quad 20x + 12 - 6x + 7, \] puis rassembler : \[ 20x - 6x = 14x \quad \text{et} \quad 12 + 7 = 19, \] ce qui conduit à l’expression réduite : \[ 14x + 19. \]

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Conclusion

• a) Pour \(x = 2\), la première expression vaut \(48\) et la deuxième \(47\).
• b) Après réduction, on obtient \(22x + 4\) pour la première expression et \(14x + 19\) pour la deuxième. En substituant \(x = 2\), on retrouve \(48\) et \(47\) respectivement.
• c) La règle pour additionner ou soustraire des polynômes consiste à distribuer les signes pour éliminer les parenthèses, à regrouper les termes semblables et à additionner ou soustraire leurs coefficients.

Cette correction détaillée permet de comprendre, étape par étape, le procédé pour évaluer et simplifier des expressions algébriques.