Pour chacune des parties suivantes, identifiez les expressions équivalentes parmi celles indiquées.
Identifiez parmi les expressions suivantes celles qui sont équivalentes : - \(4x\) - \(x + x + x + x\) - \(2x + 2x\) - \(\dfrac{8x}{2}\) - \(2(2x)\) - \(4(x+1)\) - \(4x+4\) - \(2(2x+2)\) - \(x \cdot x\) - \(x^2\) - \(\dfrac{x^3}{x}\) - \(x-4\) - \(-4+x\) - \(x+(-4)\) - \(x-2-2\) - \(2x\) - \(\dfrac{4x}{2}\) - \(x+x\)
Identifiez parmi les expressions suivantes celles qui sont équivalentes : - \((pq)^2\) - \(p^2q^2\) - \(p^2 \cdot q^2\) - \(p+q\) - \(q+p\) - \(p+2q-q\) - \(9p^2\) - \((3p)^2\) - \(3p\cdot 3p\) - \(\dfrac{18p^2}{2}\) - \(p^2+p\) - \(p(p+1)\) - \(p+p^2\) - \(2pq\) - \(p\cdot 2q\) - \(q\cdot 2p\) - \(\left(\dfrac{p}{3}\right)^2\) - \(\dfrac{p^2}{9}\)
Partie a) – 5 groupes d’expressions équivalentes :
Partie b) – 6 groupes d’expressions équivalentes :
Voici la correction détaillée de l’exercice avec une explication pas à pas en français.
On nous donne plusieurs expressions et il faut repérer celles qui représentent la même quantité.
Expressions donnant 4x :
\(4x\)
C’est l’expression donnée directement.
\(x + x + x +
x\)
La somme de 4 fois \(x\) se simplifie
en \(4x\).
\(2x +
2x\)
On additionne les deux termes : \(2x + 2x =
(2+2)x = 4x\).
\(\dfrac{8x}{2}\)
En divisant \(8x\) par 2, on obtient
\(\frac{8}{2} \, x = 4x\).
\(2(2x)\)
En multipliant \(2\) par \(2x\), on a \(2(2x)= 4x\).
Ces expressions forment le premier groupe équivalent
:
\[
\{\,4x,\; x+x+x+x,\; 2x+2x,\; \frac{8x}{2},\; 2(2x) \,\}.
\]
Expressions donnant \(4x+4\) :
\(4(x+1)\)
En développant, \(4(x+1)= 4x +
4\).
\(4x+4\)
Cette expression est déjà sous forme développée.
\(2(2x+2)\)
En développant, \(2(2x+2)=
4x+4\).
Ces trois expressions sont équivalentes entre elles et constituent le
deuxième groupe :
\[
\{\,4(x+1),\; 4x+4,\; 2(2x+2) \,\}.
\]
Expressions donnant \(x^2\) :
\(x \cdot
x\)
Le produit d’un nombre par lui-même donne le carré, soit \(x^2\).
\(x^2\)
Expression déjà sous forme carrée.
\(\dfrac{x^3}{x}\)
En simplifiant, on soustrait les exposants : \(x^3 \div x = x^{3-1} = x^2\).
Ces trois expressions forment le troisième groupe
:
\[
\{\,x \cdot x,\; x^2,\; \frac{x^3}{x} \,\}.
\]
Expressions donnant \(x-4\) :
\(x-4\)
Expression donnée directement.
\(-4+x\)
Grâce à la commutativité de l’addition, \(-4+x
= x-4\).
\(x+(-4)\)
L’addition de \(-4\) à \(x\) donne aussi \(x-4\).
\(x-2-2\)
En regroupant \(-2-2= -4\), on obtient
\(x-4\).
Ces expressions forment le quatrième groupe :
\[
\{\,x-4,\; -4+x,\; x+(-4),\; x-2-2 \,\}.
\]
Expressions donnant \(2x\) :
\(2x\)
Expression donnée directement.
\(\dfrac{4x}{2}\)
Ici, en divisant \(4x\) par 2, on
obtient \(2x\).
\(x+x\)
La somme de deux \(x\) donne \(2x\).
Ces expressions constituent le cinquième groupe
:
\[
\{\,2x,\; \frac{4x}{2},\; x+x \,\}.
\]
Groupe 1 (équivalent à \(4x\)) :
\(4x,\; x+x+x+x,\; 2x+2x,\; \frac{8x}{2},\;
2(2x)\).
Groupe 2 (équivalent à \(4x+4\)) :
\(4(x+1),\; 4x+4,\; 2(2x+2)\).
Groupe 3 (équivalent à \(x^2\)) :
\(x\cdot x,\; x^2,\;
\frac{x^3}{x}\).
Groupe 4 (équivalent à \(x-4\)) :
\(x-4,\; -4+x,\; x+(-4),\;
x-2-2\).
Groupe 5 (équivalent à \(2x\)) :
\(2x,\; \frac{4x}{2},\; x+x\).
Ici, on doit identifier les expressions équivalentes parmi celles données.
Expressions donnant le carré du produit \(pq\) :
\((pq)^2\)
En appliquant la propriété \((ab)^2 =
a^2b^2\), on a \((pq)^2 =
p^2q^2\).
\(p^2q^2\)
Expression déjà sous forme factorisée.
\(p^2 \cdot
q^2\)
Tout simplement le même produit, écrit avec un point de
multiplication.
Ces trois expressions sont équivalentes et forment le premier
groupe :
\[
\{\, (pq)^2,\; p^2q^2,\; p^2\cdot q^2 \,\}.
\]
Expressions donnant la somme \(p+q\) :
\(p+q\)
\(q+p\)
Par commutativité de l’addition, \(q+p=p+q\).
\(p+2q-q\)
Simplifions : \[
p+2q-q = p+(2q - q) = p+q.
\]
Ces trois expressions sont équivalentes et forment le
deuxième groupe :
\[
\{\, p+q,\; q+p,\; p+2q-q \,\}.
\]
Expressions donnant \(9p^2\) :
\(9p^2\)
Expression donnée directement.
\((3p)^2\)
En développant, \((3p)^2 =
9p^2\).
\(3p\cdot
3p\)
Ici, \(3p\cdot 3p = 9p^2\).
\(\dfrac{18p^2}{2}\)
En simplifiant, \(\frac{18p^2}{2} =
9p^2\).
Ces quatre expressions sont équivalentes et constituent le
troisième groupe :
\[
\{\, 9p^2,\; (3p)^2,\; 3p\cdot 3p,\; \frac{18p^2}{2} \,\}.
\]
Expressions donnant \(p^2+p\) :
\(p^2+p\)
\(p+p^2\)
Par commutativité, ces deux expressions sont identiques.
\(p(p+1)\)
En développant, \(p(p+1) = p^2 +
p\).
Ces trois expressions sont équivalentes et forment le
quatrième groupe :
\[
\{\, p^2+p,\; p+p^2,\; p(p+1) \,\}.
\]
Expressions donnant \(2pq\) :
\(2pq\)
Expression donnée directement.
\(p\cdot
2q\)
La multiplication est associative, donc \(p\cdot 2q = 2pq\).
\(q\cdot
2p\)
Par la commutativité de la multiplication, \(q\cdot 2p = 2pq\).
Ces trois expressions forment le cinquième groupe
:
\[
\{\, 2pq,\; p\cdot 2q,\; q\cdot 2p \,\}.
\]
Expressions donnant \(\left(\dfrac{p}{3}\right)^2\) :
\(\left(\dfrac{p}{3}\right)^2\)
En élevant au carré, \(\left(\frac{p}{3}\right)^2 =
\frac{p^2}{9}\).
\(\dfrac{p^2}{9}\)
Expression déjà sous forme simplifiée.
Ces deux expressions constituent le sixième groupe
:
\[
\left\{\, \left(\frac{p}{3}\right)^2,\; \frac{p^2}{9} \,\right\}.
\]
Groupe 1 (équivalent à \((pq)^2\)) :
\((pq)^2,\; p^2q^2,\; p^2\cdot
q^2\).
Groupe 2 (équivalent à \(p+q\)) :
\(p+q,\; q+p,\; p+2q-q\).
Groupe 3 (équivalent à \(9p^2\)) :
\(9p^2,\; (3p)^2,\; 3p\cdot 3p,\;
\frac{18p^2}{2}\).
Groupe 4 (équivalent à \(p^2+p\)) :
\(p^2+p,\; p+p^2,\; p(p+1)\).
Groupe 5 (équivalent à \(2pq\)) :
\(2pq,\; p\cdot 2q,\; q\cdot
2p\).
Groupe 6 (équivalent à \(\left(\frac{p}{3}\right)^2\))
:
\(\left(\frac{p}{3}\right)^2,\;
\frac{p^2}{9}\).
Pour résumer :
Partie a)
Nous avons 5 groupes d’expressions équivalentes :
Partie b)
Nous avons 6 groupes d’expressions équivalentes :
Cette démarche montre comment regrouper les expressions selon leur simplification et en appliquant les propriétés de la multiplication, de la division, de l’addition et de l’exponentiation.