Pour chaque item, donnez les monômes demandés :
Voici une proposition de correction détaillée pour chacun des items :
Énoncé :
Trouver trois monômes semblables (c’est-à-dire ayant la même partie
littérale) quelconques.
Correction :
On peut choisir la partie littérale \(a^2b\) et simplement varier les
coefficients. Par exemple, on peut prendre :
\[
2a^2b,\quad -3a^2b,\quad 10a^2b.
\] Ces trois monômes sont semblables car ils possèdent exactement
\(a^2b\) comme partie littérale.
Énoncé :
Trouver deux monômes dont la partie littérale (les lettres et leurs
exposants) soit exactement \(ab^2\).
Correction :
On écrit des monômes sous la forme \(k\,ab^2\) avec \(k\) un coefficient. Par exemple, on peut
choisir
\[
3ab^2 \quad \text{et} \quad 7ab^2.
\] Ici, la partie littérale est identique (\(ab^2\)).
Énoncé :
Trouver deux monômes qui soient semblables mais dont leurs degrés soient
différents.
Correction :
Rappelons qu’ils sont dits semblables si et seulement si ils ont la même
partie littérale, c’est-à-dire la même ou les mêmes variables élevées
aux mêmes exposants. Or le degré d’un monôme est la somme des exposants
de sa partie littérale.
Si deux monômes sont semblables, ils possèdent exactement les mêmes exposants, donc ils ont forcément le même degré.
Il est donc impossible d’obtenir deux monômes à la fois semblables et de degrés différents.
Énoncé :
Trouver deux monômes \(M_1\) et \(M_2\) qui soient semblables, de degré 5 (la
somme des exposants de la partie littérale vaut 5), et tels que leur
somme soit le monôme nul (leur somme est égale à 0).
Correction :
Pour que la somme de deux monômes semblables soit nulle, il suffit que
ces monômes soient opposés l’un de l’autre. Par exemple, choisissons la
partie littérale \(a^5\) (le degré est
\(5\)) et prenons :
\[
M_1 = 2a^5 \quad \text{et} \quad M_2 = -2a^5.
\] Vérifions :
- Étant donné qu’ils ont la même partie littérale ils sont
semblables.
- Leurs degrés sont tous les deux \(5\).
- Leur somme est
\[
2a^5 + (-2a^5)= 0.
\]
Énoncé :
Trouver deux monômes \(M_1\) et \(M_2\) tels que
\[
M_1 \times M_2=84a^3
\] et
\[
M_1+M_2=20\, (\text{ou un monôme dont le coefficient est }20).
\]
Correction :
Pour additionner deux monômes et obtenir un résultat qui soit encore un
monôme, ils doivent être semblables (la même partie littérale). Ainsi,
supposons que
\[
M_1=k_1\, a^m \quad \text{et} \quad M_2=k_2\, a^m.
\] Alors leur somme s’exprime par
\[
M_1+M_2=(k_1+k_2)a^m.
\] On souhaite obtenir un monôme de coefficient 20, disons \(20\,a^m\). Par ailleurs, leur produit
est
\[
M_1 \times M_2 = k_1k_2\, a^{2m} =84a^3.
\] Pour que la partie littérale se retrouve correctement, il faut
que
\[
2m=3.
\] Or, comme \(m\) est
l’exposant dans un monôme (et dans le cadre d’un exercice de collège, on
travaille avec des exposants entiers naturels), il n’existe pas d’entier
\(m\) tel que \(2m=3\).
On en déduit qu’il n’existe aucune solution dans \(\mathbb{N}\) aux conditions posées dans cet item.
Énoncé :
Trouver deux monômes \(M_1\) et \(M_2\) tels que
\[
M_1+M_2=0
\] et
\[
M_1\times M_2 = 16b^2.
\]
Correction :
Si la somme de deux monômes est nulle, ils sont opposés l’un de l’autre,
c’est-à-dire
\[
M_2=-M_1.
\] Dans ce cas, leur produit est
\[
M_1 \times (- M_1) = -{M_1}^2.
\] On impose alors
\[
-{M_1}^2=16b^2.
\] Or, le carré d’un monôme (dont le coefficient est un nombre
réel) est un nombre positif ou nul. Le membre de gauche est donc négatif
(sauf si \(M_1=0\), ce qui n’est pas
acceptable ici) tandis que le membre de droite est positif.
Il est donc impossible de trouver deux monômes non nuls vérifiant ces conditions.
Énoncé :
Trouver deux monômes \(M_1\) et \(M_2\) tels que
\[
M_1+M_2=0
\] et
\[
M_1\times M_2 = -16a^6.
\]
Correction :
Comme précédemment, si la somme est nulle, alors
\[
M_2=-M_1.
\] Le produit s’obtient alors :
\[
M_1 \times (-M_1) = -{M_1}^2.
\] On cherche donc \(M_1\) tel
que
\[
-{M_1}^2 = -16a^6.
\] En multipliant par \(-1\) des
deux côtés, cela revient à
\[
{M_1}^2 = 16a^6.
\] On peut alors poser
\[
M_1 = 4a^3 \quad \text{(puisque } (4a^3)^2=16a^6\text{)}
\] et de ce fait
\[
M_2 = -4a^3.
\] Vérifions :
- Leur somme est \(4a^3 +
(-4a^3)=0\).
- Leur produit est \((4a^3)(-4a^3) =
-16a^6\).
Énoncé :
Trouver deux monômes \(M_1\) et \(M_2\) tels que
\[
4a\,(M_1 \times M_2) = 144a^4.
\]
Correction :
Commençons par isoler le produit \(M_1 \times
M_2\) : \[
M_1 \times M_2 = \frac{144a^4}{4a} = 36a^3.
\] Il faut maintenant trouver deux monômes dont le produit est
\(36a^3\). Par exemple, on peut choisir
: \[
M_1=4a \quad \text{et} \quad M_2=9a^2.
\] Vérifions le produit :
\[
4a \times 9a^2 = 36a^3,
\] puis
\[
4a \cdot 36a^3 = 144a^4.
\] Ces choix conviennent.
Énoncé :
Trouver deux monômes \(M_1\) et \(M_2\) tels que
\[
M_1 \times M_2 = 1.
\]
Correction :
La façon la plus simple est de prendre des monômes constants (sans
lettres) ou de prendre des constantes réciproques l’une de l’autre. Par
exemple, on peut choisir : \[
M_1=2 \quad \text{et} \quad M_2=\frac{1}{2}.
\] On vérifie :
\[
2\times\frac{1}{2}=1.
\] Ces deux monômes satisfont bien la condition.
Énoncé :
Trouver deux monômes qui ont le même degré (la somme des exposants des
variables est égale) mais qui ne sont pas semblables (leur partie
littérale diffère).
Correction :
Par exemple, considérons les monômes suivants :
\[
3a^2 \quad \text{et} \quad 2ab.
\] Calculons leur degré :
- Pour \(3a^2\), le degré est \(2\).
- Pour \(2ab\), le degré est \(1+1=2\).
Les deux monômes sont de degré 2, mais ils ne sont pas semblables car la partie littérale de \(3a^2\) est \(a^2\) et celle de \(2ab\) est \(ab\).
Chaque item a ainsi été traité étape par étape, avec la vérification des conditions demandées.