Exercice 13

Question : Exercice

Simplifie, si possible, chacune des expressions littérales suivantes :

1. \(\; 12a^2b + 6ab^2 - 8a^2b\)

2. \(\; -90xy - 30xy\)

3. \(\; 24pz^2 - z^2\)

4. \(\; 600t^2 + 150t^2 \cdot (-4w)\)

5. \(\; 42m^2n - \left(19m^2n + 23m^2n\right)\)

6. \(\; (3b)^3 - 3 \cdot b^3 \cdot 4\)

7. \(\; w \cdot 18 \cdot v \cdot (-7) - (-7) \cdot w \cdot v\)

8. \(\; (5k)^2 - 2\cdot 5k \cdot (-3l) + (-3l)^2\)

9. \(\; (-9d)^2 - 81d - 45d\)

10. \(\; y \cdot 120y^4 - \left(-3y^2\right)^3\)

Réponse

Réponses : a) 4a²b + 6ab²
b) -120xy
c) z²(24p – 1)
d) 600t²(1 – w)
e) 0
f) 15b³
g) -119wv
h) (5k + 3l)²
i) 9d(9d – 14)
j) 3y⁵(40 + 9y)

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée de chaque expression :

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a) \(\; 12a^2b + 6ab^2 - 8a^2b\)

1. Identifier les termes semblables :
   Les termes \(12a^2b\) et \(-8a^2b\) contiennent tous les deux \(a^2b\).

2. Combiner les termes semblables :
   \[ 12a^2b - 8a^2b = (12-8)a^2b = 4a^2b \]

3. Conserver le terme non semblable :
   Le terme \(6ab^2\) ne peut pas être combiné avec \(4a^2b\).

4. Conclusion :
   La forme simplifiée est : \[ 4a^2b + 6ab^2 \]

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b) \(\; -90xy - 30xy\)

1. Identifier les termes semblables :
   Les deux termes contiennent \(xy\).

2. Additionner les coefficients :
   \[ -90xy - 30xy = (-90 - 30)xy = -120xy \]

3. Conclusion :
   L’expression simplifiée est : \[ -120xy \]

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c) \(\; 24pz^2 - z^2\)

1. Mettre en évidence le facteur commun :
   Les deux termes contiennent \(z^2\) (le second terme s’écrit \(1\cdot z^2\)).

2. Factoriser \(z^2\) : \[ 24pz^2 - z^2 = z^2(24p-1) \]

3. Conclusion :
   L’expression simplifiée est : \[ z^2(24p-1) \]

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d) \(\; 600t^2 + 150t^2 \cdot (-4w)\)

1. Calculer le produit dans le deuxième terme :
   \[ 150t^2 \cdot (-4w) = -600t^2w \]

2. Écrire l’expression :
   \[ 600t^2 - 600t^2w \]

3. Factoriser le facteur commun \(600t^2\) : \[ 600t^2 - 600t^2w = 600t^2(1-w) \]

4. Conclusion :
   L’expression simplifiée est : \[ 600t^2(1-w) \]

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e) \(\; 42m^2n - \left(19m^2n + 23m^2n\right)\)

1. Effectuer l’opération dans la parenthèse :
   \[ 19m^2n + 23m^2n = (19+23)m^2n = 42m^2n \]

2. Soustraire :
   \[ 42m^2n - 42m^2n = 0 \]

3. Conclusion :
   L’expression simplifiée est : \[ 0 \]

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f) \(\; (3b)^3 - 3 \cdot b^3 \cdot 4\)

1. Calculer le premier terme :
   \[ (3b)^3 = 3^3 \cdot b^3 = 27b^3 \]

2. Calculer le deuxième terme :
   \[ 3 \cdot b^3 \cdot 4 = 12b^3 \]

3. Soustraire les deux résultats :
   \[ 27b^3 - 12b^3 = (27-12)b^3 = 15b^3 \]

4. Conclusion :
   L’expression simplifiée est : \[ 15b^3 \]

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g) \(\; w \cdot 18 \cdot v \cdot (-7) - (-7) \cdot w \cdot v\)

1. Calcul du premier terme :
   \[ 18 \cdot (-7) = -126 \quad \Rightarrow \quad -126wv \]

2. Calcul du deuxième terme :
   Le deuxième terme est \(-(-7)wv\). Comme \(-(-7)=7\), cela donne : \[ 7wv \]

3. Additionner les deux termes :
   \[ -126wv + 7wv = (-126+7)wv = -119wv \]

4. Conclusion :
   L’expression simplifiée est : \[ -119wv \]

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h) \(\; (5k)^2 - 2\cdot 5k \cdot (-3l) + (-3l)^2\)

1. Calculer chaque terme :

   • Premier terme :
     \[ (5k)^2 = 25k^2 \]
   • Deuxième terme :
     \[ -2 \cdot 5k \cdot (-3l) = 30kl \]
   • Troisième terme :
     \[ (-3l)^2 = 9l^2 \]

2. Rassembler les termes :
   \[ 25k^2 + 30kl + 9l^2 \]

3. Constater la forme remarquable :
   On reconnaît la formule de \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) avec \(a=5k\) et \(b=3l\).

4. Conclusion :
   L’expression simplifiée est : \[ (5k+3l)^2 \quad \text{ou bien} \quad 25k^2+30kl+9l^2 \]

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i) \(\; (-9d)^2 - 81d - 45d\)

1. Calculer le premier terme :
   \[ (-9d)^2 = (-9)^2 \cdot d^2 = 81d^2 \]

2. Combiner les termes en \(d\) :
   \[ -81d - 45d = -(81+45)d = -126d \]

3. Mettre en facteur si possible :
   On peut factoriser \(9d\) : \[ 81d^2 -126d = 9d(9d-14) \]

4. Conclusion :
   L’expression simplifiée est : \[ 9d(9d-14) \]

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j) \(\; y \cdot 120y^4 - \left(-3y^2\right)^3\)

1. Calculer le premier terme :
   \[ y \cdot 120y^4 = 120y^5 \]

2. Calculer le second terme :
   \[ (-3y^2)^3 = (-3)^3 \cdot (y^2)^3 = -27y^6 \]

3. Appliquer la soustraction :
   L’expression devient : \[ 120y^5 - (-27y^6)= 120y^5 + 27y^6 \]

4. Mettre en facteur un terme commun :
   On peut factoriser \(3y^5\) : \[ 120y^5 + 27y^6 = 3y^5(40 + 9y) \] (On peut aussi écrire \(27y^6 + 120y^5\) mais le facteur de \(3y^5\) est plus pratique.)

5. Conclusion :
   L’expression simplifiée est : \[ 3y^5(40+9y) \]

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Récapitulatif des réponses :

1. \(\; 4a^2b + 6ab^2\)

2. \(\; -120xy\)

3. \(\; z^2(24p-1)\)

4. \(\; 600t^2(1-w)\)

5. \(\; 0\)

6. \(\; 15b^3\)

7. \(\; -119wv\)

8. \(\; (5k+3l)^2\) ou \(25k^2+30kl+9l^2\)

9. \(\; 9d(9d-14)\)

10. \(\; 3y^5(40+9y)\)

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Chaque étape a été détaillée pour faciliter la compréhension. Vous pouvez ainsi suivre la logique utilisée pour simplifier chacune des expressions littérales.