Exercice 12

Exercice 1. Réduis, si possible, les expressions littérales suivantes :
a) \(p + 5p\)
b) \(6q + 2q - 4q\)
c) \(2 + 3r\)
d) \(9s - 9s\)
e) \(t + t\)
f) \(3a + 3 + 0,5a\)
g) \(1,5k + 2k + 3,5k\)
h) \(8v - 3v\)
i) \(7 + w - 4\)
j) \(3x + 2 + x + 7\)
k) \(2y - y + 1\)
l) \(u + 15\)

Exercice 2. Réduis, si possible, les expressions littérales suivantes :
a) \(4m^2 + 2m + m^2 + 6 - 2m\)
b) \(2n + n^5 - n + 3n^3 + 5n^5 + n^2\)
c) \(-3p + 3p^4 - 3^4\)
d) \(6r^2 + 8r - 2r^2 - 3r\)
e) \(5s + 6t - 2s + 4\)
f) \(8u^2 - 4v + 7,5u^2 - v + 3\)
g) \(t^3 - 2t^3 + t^3\)
h) \(w^4 - w^3 + w^2 - w + w^2 - w^3 + w^4\)

Réponse

Exercice 1 : a) 6p
b) 4q
c) 2 + 3r
d) 0
e) 2t
f) 3,5a + 3
g) 7k
h) 5v
i) 3 + w
j) 4x + 9
k) y + 1
l) u + 15

Exercice 2 :
a) 5m² + 6
b) 6n⁵ + 3n³ + n² + n
c) 3p⁴ – 3p – 81
d) 4r² + 5r
e) 3s + 6t + 4
f) 15,5u² – 5v + 3
g) 0
h) 2w⁴ – 2w³ + 2w² – w

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chacun des exercices.

Exercice 1

Nous devons réduire (simplifier) chacune des expressions en regroupant les termes semblables (ceux qui contiennent la même inconnue ou qui sont des constantes).

a) \(p + 5p\)

Étape 1 : Identifier les termes semblables. Ici, \(p\) et \(5p\) sont des termes semblables.
Étape 2 : Additionner les coefficients : \[ 1p + 5p = (1+5)p = 6p \]
Réponse : \(6p\)

b) \(6q + 2q - 4q\)

Étape 1 : Identifier les coefficients de \(q\). Tous les termes ont \(q\).
Étape 2 : Calculer : \[ 6q + 2q - 4q = (6+2-4)q = 4q \]
Réponse : \(4q\)

c) \(2 + 3r\)

Étape 1 : Ici, un terme constant (\(2\)) et un terme en \(r\) (\(3r\)) ne sont pas semblables.
Réponse : L’expression est déjà réduite : \(2+3r\)

d) \(9s - 9s\)

Étape 1 : Les deux termes sont semblables puisque tous deux contiennent \(s\).
Étape 2 : Calculer : \[ 9s - 9s = (9-9)s = 0s = 0 \]
Réponse : \(0\)

e) \(t + t\)

Étape 1 : On peut remarquer que \(t\) équivaut à \(1t\).
Étape 2 : Additionner les coefficients : \[ 1t + 1t = 2t \]
Réponse : \(2t\)

f) \(3a + 3 + 0,5a\)

Étape 1 : Regrouper les termes semblables. Les termes en \(a\) sont \(3a\) et \(0,5a\).
Étape 2 : Additionner les coefficients des \(a\) : \[ 3a + 0,5a = (3+0,5)a = 3,5a \]
Étape 3 : On écrit l’expression réduite en mettant aussi le terme constant : \[ 3,5a + 3 \]
Réponse : \(3,5a + 3\)

g) \(1,5k + 2k + 3,5k\)

Étape 1 : Tous les termes contiennent \(k\).
Étape 2 : Additionner les coefficients : \[ 1,5 + 2 + 3,5 = 7 \] Donc, \[ 7k \]
Réponse : \(7k\)

h) \(8v - 3v\)

Étape 1 : Regrouper les termes en \(v\).
Étape 2 : Calculer : \[ 8v-3v = (8-3)v = 5v \]
Réponse : \(5v\)

i) \(7 + w - 4\)

Étape 1 : Regrouper les termes constants et les termes contenant \(w\) séparément.
Étape 2 : Pour les constantes : \[ 7-4 = 3 \]
Étape 3 : On reprend le terme en \(w\) : \[ w \]
Réponse : \(w + 3\) ou \(3+w\)

j) \(3x + 2 + x + 7\)

Étape 1 : Identifier les termes en \(x\) : \(3x\) et \(x\) (qui équivaut à \(1x\)). Les constantes sont \(2\) et \(7\).
Étape 2 : Additionner les coefficients de \(x\) : \[ 3x + x = 4x \]
Étape 3 : Additionner les constantes : \[ 2 + 7 = 9 \]
Réponse : \(4x + 9\)

k) \(2y - y + 1\)

Étape 1 : Identifier les termes en \(y\) : \(2y\) et \(-y\) (qui équivaut à \(-1y\)).
Étape 2 : Additionner les coefficients : \[ 2y - y = (2-1)y = 1y = y \]
Étape 3 : Conserver le terme constant \(+1\).
Réponse : \(y + 1\)

l) \(u + 15\)

Étape 1 : Ici, \(u\) et \(15\) sont des termes différents (l’un en \(u\) et l’autre constant).
Réponse : L’expression est déjà réduite : \(u + 15\)

Exercice 2

Ici, il est important de respecter les puissances des variables, car seuls les termes ayant exactement la même variable et le même exposant peuvent être combinés.

a) \(4m^2 + 2m + m^2 + 6 - 2m\)

Étape 1 : Regrouper par type de terme.
- Termes en \(m^2\): \(4m^2\) et \(m^2\) (qui est \(1m^2\)).
- Termes en \(m\): \(2m\) et \(-2m\).
- Terme constant : \(6\).
Étape 2 : Additionner les termes en \(m^2\) : \[ 4m^2 + m^2 = (4+1)m^2 = 5m^2 \]
Étape 3 : Additionner les termes en \(m\) : \[ 2m - 2m = 0 \]
Étape 4 : Réunir le terme constant : \[ 6 \]
Réponse : \(5m^2 + 6\)

b) \(2n + n^5 - n + 3n^3 + 5n^5 + n^2\)

Étape 1 : Identifier les termes semblables.
- Termes en \(n^5\): \(n^5\) et \(5n^5\).
- Termes en \(n^3\): \(3n^3\).
- Terme en \(n^2\): \(n^2\).
- Termes en \(n\): \(2n\) et \(-n\).
Étape 2 : Additionner les termes en \(n^5\) : \[ n^5 + 5n^5 = 6n^5 \]
Étape 3 : Simplifier les termes en \(n\) : \[ 2n - n = n \]
Étape 4 : On rassemble les autres termes : \[ 3n^3 \quad \text{et} \quad n^2 \]
Réponse : \(6n^5 + 3n^3 + n^2 + n\)

c) \(-3p + 3p^4 - 3^4\)

Étape 1 : Identifier les termes semblables. Notez que \(-3p\) et \(3p^4\) ne sont pas semblables à cause des puissances différentes.
Étape 2 : Calculer \(3^4\) : \[ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \]
Étape 3 : Remplacer dans l’expression : \[ -3p + 3p^4 - 81 \]
Réponse : \(3p^4 - 3p - 81\)

d) \(6r^2 + 8r - 2r^2 - 3r\)

Étape 1 : Regrouper les termes semblables.
- Termes en \(r^2\) : \(6r^2\) et \(-2r^2\).
- Termes en \(r\) : \(8r\) et \(-3r\).
Étape 2 : Calculer pour \(r^2\) : \[ 6r^2 - 2r^2 = 4r^2 \]
Étape 3 : Calculer pour \(r\) : \[ 8r - 3r = 5r \]
Réponse : \(4r^2 + 5r\)

e) \(5s + 6t - 2s + 4\)

Étape 1 : Regrouper les termes semblables.
- Termes en \(s\) : \(5s\) et \(-2s\).
- Le terme en \(t\) reste seul : \(6t\).
- Termes constants : \(4\).
Étape 2 : Additionner les termes en \(s\) : \[ 5s - 2s = 3s \]
Réponse : \(3s + 6t + 4\)

f) \(8u^2 - 4v + 7,5u^2 - v + 3\)

Étape 1 : Identifier les termes semblables.
- Termes en \(u^2\) : \(8u^2\) et \(7,5u^2\).
- Termes en \(v\) : \(-4v\) et \(-v\) (équivalent à \(-1v\)).
- Terme constant : \(3\).
Étape 2 : Additionner les termes en \(u^2\) : \[ 8u^2 + 7,5u^2 = 15,5u^2 \]
Étape 3 : Additionner les termes en \(v\) : \[ -4v - v = -5v \]
Réponse : \(15,5u^2 - 5v + 3\)

g) \(t^3 - 2t^3 + t^3\)

Étape 1 : Regrouper les termes semblables, tous contiennent \(t^3\).
Étape 2 : Additionner les coefficients : \[ 1t^3 - 2t^3 + 1t^3 = (1 - 2 + 1)t^3 = 0t^3 = 0 \]
Réponse : \(0\)

h) \(w^4 - w^3 + w^2 - w + w^2 - w^3 + w^4\)

Étape 1 : Regrouper par puissances :
- Termes en \(w^4\) : \(w^4\) et \(w^4\).
- Termes en \(w^3\) : \(-w^3\) et \(-w^3\).
- Termes en \(w^2\) : \(w^2\) et \(w^2\).
- Terme en \(w\) : \(-w\) (il est seul).
Étape 2 : Additionner les termes en \(w^4\) : \[ w^4 + w^4 = 2w^4 \]
Étape 3 : Additionner les termes en \(w^3\) : \[ -w^3 - w^3 = -2w^3 \]
Étape 4 : Additionner les termes en \(w^2\) : \[ w^2 + w^2 = 2w^2 \]
Étape 5 : On garde le terme en \(w\) : \[ -w \]
Réponse : \(2w^4 - 2w^3 + 2w^2 - w\)

Cette correction regroupe toutes les étapes nécessaires pour simplifier les expressions littérales. N’hésitez pas à revenir sur chaque étape pour bien comprendre le raisonnement employé.