Exercice 10

Exercice

Simplifiez les expressions littérales suivantes :

\(\left(-7xy\right)^3\)
\(2a \cdot a \cdot 8a\)
\((-z) \cdot z \cdot (-z)\)
\(\left(-3b^2\right)^3\)
\(-\left(cd^2\right)^2\)
\(4m \cdot \left(-3m\right)^3\)
\(-6p^2 \cdot 2p^3\)
\(\left(-2n^3q\right)^2\)
\(\left(\dfrac{3}{4}t\right)^2\)
\(\left(\dfrac{4z^3}{5}\right)^2\)

Réponse

Voici le résumé des simplifications :

–343x³y³
16a³
z³
–27b⁶
–c²d⁴
–108m⁴
–12p⁵
4n⁶q²
(9/16)t²
(16/25)z⁶

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression littérale en suivant les étapes :

a) Simplifier \(\left(-7xy\right)^3\)

Étape 1 : On applique la propriété \(\left(ab\right)^n = a^n \cdot b^n\). Ici, il s’agit de : \[ \left(-7xy\right)^3 = (-7)^3 \cdot x^3 \cdot y^3. \]
Étape 2 : Calcul du coefficient : \[ (-7)^3 = -7 \times -7 \times -7 = -343. \]
Étape 3 : On obtient : \[ \left(-7xy\right)^3 = -343\, x^3 y^3. \]

b) Simplifier \(2a \cdot a \cdot 8a\)

Étape 1 : Regroupons les coefficients et les variables séparément : \[ 2 \cdot 1 \cdot 8 = 16 \quad \text{et} \quad a \cdot a \cdot a = a^3. \]
Étape 2 : La simplification donne : \[ 2a \cdot a \cdot 8a = 16a^3. \]

c) Simplifier \((-z) \cdot z \cdot (-z)\)

Étape 1 : Écrivons les facteurs en séparant le signe et la variable : \[ (-z) \cdot z \cdot (-z) = (-1 \cdot z) \cdot z \cdot (-1 \cdot z). \]
Étape 2 : Regroupons les signes et les \(z\) : \[ (-1) \cdot (-1) \cdot z \cdot z \cdot z = ( (-1) \cdot (-1) )\, z^3. \]
Étape 3 : Sachant que \((-1) \cdot (-1) = 1\), on obtient : \[ (-z) \cdot z \cdot (-z) = z^3. \]

d) Simplifier \(\left(-3b^2\right)^3\)

Étape 1 : Appliquons la propriété de la puissance sur un produit : \[ \left(-3b^2\right)^3 = (-3)^3 \cdot (b^2)^3. \]
Étape 2 : Calcul du coefficient : \[ (-3)^3 = -27. \]
Étape 3 : Pour la variable, on a \((b^2)^3 = b^{2 \times 3} = b^6\).
Étape 4 : Conclusion : \[ \left(-3b^2\right)^3 = -27b^6. \]

e) Simplifier \(-\left(cd^2\right)^2\)

Étape 1 : Commencez par développer la puissance à l’intérieur de la parenthèse : \[ \left(cd^2\right)^2 = c^2 \cdot (d^2)^2 = c^2 d^4. \]
Étape 2 : Le signe négatif extérieur reste : \[ -\left(cd^2\right)^2 = -c^2 d^4. \]

f) Simplifier \(4m \cdot \left(-3m\right)^3\)

Étape 1 : Développons \(\left(-3m\right)^3\) : \[ \left(-3m\right)^3 = (-3)^3 \cdot m^3 = -27 m^3. \]
Étape 2 : Puis, multiplions par \(4m\) : \[ 4m \cdot (-27m^3) = -108\, m^{1+3} = -108 m^4. \]

g) Simplifier \(-6p^2 \cdot 2p^3\)

Étape 1 : Multiplions les coefficients : \[ -6 \cdot 2 = -12. \]
Étape 2 : Additionnons les exposants pour \(p\) (puisque \(p^2 \cdot p^3 = p^{2+3}\)) : \[ p^2 \cdot p^3 = p^5. \]
Étape 3 : En combinant, on obtient : \[ -6p^2 \cdot 2p^3 = -12p^5. \]

h) Simplifier \(\left(-2n^3q\right)^2\)

Étape 1 : Appliquons la propriété de la puissance sur le produit : \[ \left(-2n^3q\right)^2 = (-2)^2 \cdot (n^3)^2 \cdot q^2. \]
Étape 2 : Calcul du coefficient : \[ (-2)^2 = 4. \]
Étape 3 : Pour la variable \(n\), \((n^3)^2 = n^{3 \times 2} = n^6\) et pour \(q\), \(q^2\) reste.
Étape 4 : La simplification donne : \[ \left(-2n^3q\right)^2 = 4n^6q^2. \]

i) Simplifier \(\left(\dfrac{3}{4}t\right)^2\)

Étape 1 : Appliquons la puissance sur le produit : \[ \left(\dfrac{3}{4}t\right)^2 = \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \cdot t^2. \]
Étape 2 : Calcul de \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\) : \[ \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}. \]
Étape 3 : La simplification donne : \[ \left(\dfrac{3}{4}t\right)^2 = \dfrac{9}{16}t^2. \]

j) Simplifier \(\left(\dfrac{4z^3}{5}\right)^2\)

Étape 1 : Appliquons la puissance au quotient et au produit : \[ \left(\dfrac{4z^3}{5}\right)^2 = \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(z^3\right)^2. \]
Étape 2 : Calcul de \(\left(\dfrac{4}{5}\right)^2\) : \[ \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = \dfrac{16}{25}. \]
Étape 3 : Pour la variable \(z\), \(\left(z^3\right)^2 = z^{3 \times 2} = z^6\).
Étape 4 : La simplification finale est : \[ \left(\dfrac{4z^3}{5}\right)^2 = \dfrac{16}{25}z^6. \]

Chaque étape de la simplification consiste en l’application de règles de calcul (produit de puissances, multiplication des coefficients et distribution de la puissance sur chaque facteur) pour obtenir l’expression la plus simple possible.