Exercice 8

Exercice. Représentez chaque énoncé à l’aide d’une expression littérale.

Un multiple de 6.
Un nombre impair.
La moyenne de deux entiers consécutifs.
La différence entre deux nombres impairs consécutifs.
La somme des cubes de deux nombres quelconques.
Les deux tiers d’un nombre.
Le carré de la moitié d’un nombre.
Le cube d’un nombre impair.
Le quadruple d’un nombre diminué du tiers de ce nombre.
La somme du tiers et des deux cinquièmes d’un nombre.
Le volume d’un prisme rectangulaire exprimé en fonction de ses trois dimensions.

Réponse

6n
2n + 1
(n + (n + 1)) / 2
(2n + 3) – (2n + 1) = 2
x³ + y³
(2/3) x
(x/2)²
(2n + 1)³
4(x – x/3)
(1/3) x + (2/5) x
L × l × h

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque partie de l’exercice, avec une explication pas à pas pour chacune d’elles.

a) Un multiple de 6

Expression littérale :
On peut représenter un multiple de 6 en multipliant 6 par un entier.
Soit \(n\) un entier, alors un multiple de 6 s’exprime par
\[ 6n. \]

Explication :
- Un multiple de 6 signifie qu’on multiplie 6 par un nombre entier. - Ici, \(n\) représente cet entier. - Le produit \(6 \times n\) donne un nombre qui est forcément un multiple de 6.

b) Un nombre impair

Expression littérale :
Un nombre impair peut s’écrire sous la forme
\[ 2n+1, \]
où \(n\) est un entier.

Explication :
- Tout entier pair s’écrit \(2n\) (car il divise par 2 exactement). - Pour obtenir un impair, on ajoute 1 à un nombre pair : \(2n+1\).

c) La moyenne de deux entiers consécutifs

Expression littérale :
Soit \(n\) un entier. Les deux entiers consécutifs sont \(n\) et \(n+1\). Leur moyenne est donnée par
\[ \frac{n+(n+1)}{2}. \]

Explication :
- La moyenne de deux nombres se calcule en additionnant ces deux nombres puis en divisant par 2. - Ici, on additionne \(n\) et \(n+1\) puis on divise le résultat par 2.

d) La différence entre deux nombres impairs consécutifs

Expression littérale :
On sait qu’un nombre impair peut se représenter par \(2n+1\). Le nombre impair suivant est donc
\[ 2n+3. \]
La différence entre ces deux nombres est
\[ (2n+3) - (2n+1). \]

Explication :
- Le premier impair est \(2n+1\) et le suivant est \(2n+3\). - En soustrayant \(2n+1\) de \(2n+3\), on obtient
\[ (2n+3) - (2n+1) = 2. \] - Ainsi, la différence entre deux nombres impairs consécutifs est toujours 2.

e) La somme des cubes de deux nombres quelconques

Expression littérale :
Soient \(x\) et \(y\) deux nombres quelconques. La somme de leurs cubes s’exprime par
\[ x^3 + y^3. \]

Explication :
- Le cube d’un nombre est obtenu en multipliant le nombre par lui-même trois fois. - On calcule donc \(x^3\) et \(y^3\) puis on additionne ces deux résultats.

f) Les deux tiers d’un nombre

Expression littérale :
Soit \(x\) un nombre. Les deux tiers de ce nombre se représentent par
\[ \frac{2}{3}x. \]

Explication :
- Pour trouver les deux tiers d’un nombre, on multiplie ce nombre par \(\frac{2}{3}\).

g) Le carré de la moitié d’un nombre

Expression littérale :
Soit \(x\) un nombre. La moitié de ce nombre s’écrit
\[ \frac{x}{2}, \]
et son carré est
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^2. \]

Explication :
- D’abord, on divise \(x\) par 2 pour obtenir la moitié. - Ensuite, on élève ce résultat au carré en écrivant \(\left(\frac{x}{2}\right)^2\).

h) Le cube d’un nombre impair

Expression littérale :
Un nombre impair s’exprime sous la forme \(2n+1\) (où \(n\) est un entier). Son cube s’obtient en élevant cette expression à la puissance 3 :
\[ (2n+1)^3. \]

Explication :
- On commence par représenter un nombre impair par \(2n+1\). - Puis, on calcule son cube en élevant \(2n+1\) à la puissance 3.

i) Le quadruple d’un nombre diminué du tiers de ce nombre

Expression littérale :
Soit \(x\) un nombre. D’abord, on calcule “un nombre diminué du tiers de ce nombre” :
\[ x - \frac{x}{3}. \]
Ensuite, on multiplie ce résultat par 4 pour obtenir le quadruple :
\[ 4\left(x - \frac{x}{3}\right). \]

Explication :
- On soustrait \(\frac{x}{3}\) de \(x\) pour obtenir la différence. - Le quadruple de cette différence se trouve en multipliant par 4.

j) La somme du tiers et des deux cinquièmes d’un nombre

Expression littérale :
Soit \(x\) un nombre. Le tiers de \(x\) est \(\frac{1}{3}x\) et les deux cinquièmes de \(x\) est \(\frac{2}{5}x\). Leur somme s’exprime par
\[ \frac{1}{3}x + \frac{2}{5}x. \]

Explication :
- On trouve la première partie en multipliant \(x\) par \(\frac{1}{3}\). - La deuxième partie se trouve en multipliant \(x\) par \(\frac{2}{5}\). - On additionne ensuite ces deux expressions pour obtenir la somme.

k) Le volume d’un prisme rectangulaire exprimé en fonction de ses trois dimensions

Expression littérale :
Soit \(L\) la longueur, \(l\) la largeur, et \(h\) la hauteur du prisme. On sait que le volume \(V\) d’un prisme rectangulaire se calcule par le produit de ces trois dimensions :
\[ V = L \times l \times h. \]

Explication :
- Le volume d’un prisme rectangulaire est obtenu en multipliant sa longueur, sa largeur et sa hauteur. - Cette formule permet de calculer le volume indépendamment des valeurs numériques.

Ces représentations littérales permettent d’exprimer les situations décrites à l’aide d’expressions algébriques. Chacune utilise une ou plusieurs variables pour représenter les nombres concernés, rendant ainsi les expressions générales et applicables à toutes les situations correspondant aux énoncés.