Question : Pour chacune des situations suivantes, déterminez l’expression fonctionnelle correspondante. Indiquez également celles qui correspondent à une proportionnalité. Justifiez vos réponses.
Soit un cube dont l’arête mesure \(a\). Établissez l’expression du volume de ce cube en fonction de \(a\).
Un cycliste parcourt une course de \(60 \, \text{km}\) à vitesse constante. Sachant qu’il effectue les 20 premiers kilomètres en 40 minutes, trouvez l’expression fonctionnelle qui permet de calculer son temps de parcours en fonction de la distance parcourue.
Dans un atelier, chaque élève dessine un rectangle dont le périmètre est de \(50 \, \text{cm}\). À partir de la connaissance d’une des dimensions, exprimez la longueur de l’autre côté.
Lors d’une vente promotionnelle, une boutique applique une réduction de \(15\%\) sur tous ses articles. Déterminez l’expression qui donne le prix de vente d’un article en fonction de son prix initial.
Pour un polygone convexe comportant \(n\) côtés, déterminez l’expression permettant de calculer le nombre de triangles obtenus lors d’une triangulation réalisée à partir d’un sommet.
On vend \(750 \, \text{g}\) de cerises pour un montant de \(5,25 \,\) €. À partir du nombre de kilogrammes de cerises achetés, établissez l’expression qui permet de déterminer le prix à payer.
Voici la correction détaillée de chaque point :
Énoncé :
Pour un cube dont l’arête mesure \(a\),
on souhaite exprimer le volume.
Correction :
Rappel de la formule :
Le volume \(V\) d’un cube se calcule
avec la formule
\[
V = a^3.
\]
Interprétation :
Cette expression signifie que le volume varie avec le cube de la
longueur de l’arête.
Proportionnalité :
Pour qu’une relation soit une proportionnalité, il faut que la variable
dépendante soit égale à un coefficient constant multiplié par la
variable de base (fonction de la forme \(f(x)
= k \, x\)).
Ici, \(V\) est donné par \(a^3\) et non par \(k \, a\) (car la variable \(a\) est élevée à la puissance 3).
Conclusion : L’expression n’est pas une
proportionnalité par rapport à \(a\).
Réponse finale :
\[
V = a^3 \quad \text{(non proportionnel à \(a\))}
\]
Énoncé :
Un cycliste parcourt une course de \(60\,\text{km}\) à vitesse constante. Il
effectue les 20 premiers kilomètres en 40 minutes. On cherche
l’expression du temps de parcours \(t\)
(en minutes) en fonction de la distance \(d\) (en kilomètres).
Correction :
Détermination de la vitesse :
La vitesse \(v\) se calcule par la
formule
\[
v = \frac{\text{distance}}{\text{temps}}.
\] Ici, pour les 20 km parcourus en 40 minutes, on a
\[
v = \frac{20}{40} = 0.5\,\text{km/min}.
\]
Établissement de l’expression fonctionnelle
:
Puisque la vitesse est constante, le temps \(t\) est directement proportionnel à la
distance \(d\) parcourue. On a
\[
t = \frac{d}{v}.
\] En remplaçant \(v\) par \(0.5\), on obtient
\[
t = \frac{d}{0.5} = 2d.
\]
Proportionnalité :
L’expression \(t = 2d\) est de la forme
\(t = k\,d\) avec \(k = 2\).
Conclusion : La relation est une
proportionnalité.
Réponse finale :
\[
t = 2d \quad \text{(relation de proportionnalité)}
\]
Énoncé :
Chaque élève dessine un rectangle dont le périmètre est de \(50\,\text{cm}\). À partir de la
connaissance de l’une des dimensions (disons \(x\)), on cherche à exprimer l’autre côté
(disons \(y\)).
Correction :
Rappel de la formule du périmètre du rectangle
:
Le périmètre \(P\) d’un rectangle est
donné par
\[
P = 2x + 2y.
\] Ici, \(P = 50\). Ainsi,
\[
2x + 2y = 50.
\]
Résolution de l’équation pour \(y\) :
On écrit : \[
2y = 50 - 2x \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{50 - 2x}{2} = 25 - x.
\]
Proportionnalité :
L’expression obtenue est \(y = 25 -
x\).
Pour qu’une relation soit proportionnelle, l’expression aurait dû être
de la forme \(y = k\,x\).
Ici, puisque l’expression comporte une soustraction d’une constante, ce
n’est pas une proportionnalité.
Réponse finale :
\[
y = 25 - x \quad \text{(relation non proportionnelle)}
\]
Énoncé :
Une boutique applique une réduction de \(15\%\) sur tous ses articles. On souhaite
obtenir l’expression qui donne le prix de vente \(P\) d’un article en fonction de son prix
initial \(P_0\).
Correction :
Calcul de la réduction :
Une réduction de \(15\%\) signifie que
le prix final est
\[
P = P_0 - 0.15P_0.
\]
Simplification :
On factorise \(P_0\) :
\[
P = (1 - 0.15)P_0 = 0.85 \, P_0.
\]
Proportionnalité :
L’expression \(P = 0.85\,P_0\) est de
la forme \(y = k\,x\) avec \(k = 0.85\).
Conclusion : La relation est une
proportionnalité.
Réponse finale :
\[
P = 0.85\,P_0 \quad \text{(relation de proportionnalité)}
\]
Énoncé :
Pour un polygone convexe comportant \(n\) côtés, on cherche l’expression
permettant de calculer le nombre de triangles obtenus lors d’une
triangulation réalisée à partir d’un sommet.
Correction :
Rappel sur la triangulation d’un polygone
:
Lorsqu’on réalise une triangulation d’un polygone convexe (c’est-à-dire
le découper en triangles sans faire se croiser les diagonales) à partir
d’un sommet, le nombre de triangles formés est donné par
\[
T = n - 2.
\]
Proportionnalité :
L’expression \(T = n - 2\) n’est pas
une proportionnalité car, en fonction de \(n\), le terme constant \(-2\) empêche d’avoir une relation de type
\(T = k\,n\).
Réponse finale :
\[
T = n - 2 \quad \text{(relation non proportionnelle)}
\]
Énoncé :
On vend \(750 \, \text{g}\) de cerises
pour \(5,25 \, €\). À partir du nombre
de kilogrammes achetés (noté \(x\)), on
cherche l’expression qui permet de déterminer le prix à payer.
Correction :
Conversion :
Sachant que \(1 \, \text{kg} = 1000 \,
\text{g}\), on calcule le prix par gramme.
Pour \(750 \, \text{g}\), le prix est
\(5,25\,€\).
Ainsi, le prix par gramme est
\[
\frac{5,25}{750} \, (\text{€/g}).
\]
Établissement de l’expression :
Si \(x\) représente le nombre de
kilogrammes achetés, la quantité en grammes est \(1000x\).
Le prix total est donc
\[
P = 1000x \times \frac{5,25}{750}.
\]
Simplification :
On simplifie le coefficient :
\[
\frac{1000}{750} = \frac{1000 \div 250}{750 \div 250} = \frac{4}{3}.
\] Ainsi,
\[
P = x \times \frac{4}{3} \times 5,25.
\] Calculons \(\frac{4}{3} \times
5,25\) :
\[
\frac{4}{3} \times 5,25 = \frac{4 \times 5,25}{3} = \frac{21}{3} = 7.
\] Donc, \[
P = 7x.
\]
Proportionnalité :
L’expression \(P = 7x\) est de la forme
\(P = k\,x\) avec \(k = 7\), donc il s’agit d’une
proportionnalité.
Réponse finale :
\[
P = 7x \quad \text{(relation de proportionnalité)}
\]
Chacune des situations a ainsi été traitée avec l’expression fonctionnelle correspondante et l’analyse de la proportionnalité expliquée en détail.