Exercice 1

Exercice

On considère les situations suivantes :

L’aire d’un carré (en \(\mathrm{m}^2\)) se calcule en élevant la longueur de l’un de ses côtés (en m) à la puissance 2.
Le prix moyen d’un litre de lait dans une épicerie locale est de 0,95 euros.
Pour adhérer à un club sportif, il faut d’abord payer une cotisation de 50 euros, puis chaque entraînement auquel on assiste coûte 15 euros.

Traduisez chaque situation par une expression mathématique.
Représentez graphiquement chacune de ces situations.
Indiquez laquelle ou lesquelles représentent une situation de proportionnalité.
À l’aide des représentations graphiques, répondez aux questions suivantes :

Quelle est la longueur, environ, d’un côté d’un carré dont l’aire est de \(64\,\mathrm{m}^2\) ?
Quel est le coût total pour \(8\) litres de lait dans cette épicerie ?
Combien d’entraînements ont été suivis si le montant total payé est de 140 euros ?

Réponse

Réponse synthétique : • Aire d’un carré : A = x², donc pour 64 m², x = 8 m. • Prix du lait : C = 0,95 × n, donc pour 8 litres, C = 7,6 €. • Coût du club : C = 50 + 15 × n, donc pour 140 €, n = 6. Seul le prix du lait représente une situation de proportionnalité.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

a) Traduction des situations par des expressions mathématiques

Aire d’un carré :
Si on note \(x\) la longueur d’un côté (en m), alors l’aire \(A\) (en \(\mathrm{m}^2\)) se calcule par
\[ A = x^2. \]
Prix d’un litre de lait :
Si on note \(n\) le nombre de litres achetés, le coût total \(C\) (en euros) est donné par
\[ C = 0,95 \times n. \]
Coût pour adhérer à un club sportif :
Si \(n\) représente le nombre d’entraînements suivis, le coût total \(C\) (en euros) se calcule en ajoutant la cotisation initiale et le coût par entraînement :
\[ C = 50 + 15 \times n. \]

b) Représentations graphiques des situations

Aire d’un carré \(A = x^2\) :
Sur un graphique où l’axe horizontal représente la longueur \(x\) (en m) et l’axe vertical représente l’aire \(A\) (en \(\mathrm{m}^2\)), la courbe obtenue est une parabole.
- La courbe passe par l’origine \((0,0)\).
- Elle est croissante et sa pente augmente avec \(x\).
Prix du lait \(C = 0,95 \, n\) :
Sur un graphique où l’axe horizontal représente le nombre de litres \(n\) et l’axe vertical le coût \(C\) (en euros), la représentation est une droite passant par l’origine.
- La pente de la droite est \(0,95\), indiquant que pour chaque litre, le coût augmente de 0,95 euros.
Coût pour le club sportif \(C = 50 + 15 \, n\) :
Ici, sur un graphique similaire (axe horizontal : nombre d’entraînements \(n\) et axe vertical : coût \(C\) en euros), la représentation est une droite dont :
- L’ordonnée à l’origine est 50, ce qui signifie qu’avant de suivre le premier entraînement, la cotisation déjà payée est de 50 euros.
- La pente est \(15\), indiquant que chaque entraînement augmente le coût de 15 euros.

c) Situation(s) de proportionnalité

Pour qu’une situation soit de proportionnalité, l’expression doit être de la forme
\[ y = k \times x, \]
ce qui implique que la droite passe par l’origine (\(y=0\) quand \(x=0\)).

Dans le cas de l’aire d’un carré \(A = x^2\), la relation n’est pas linéaire.
Pour le prix du lait \(C = 0,95 \, n\), la relation est de proportionnalité car \(C = 0,95 \times n\) et \(C = 0\) lorsque \(n=0\).
Pour le coût du club sportif \(C = 50 + 15 \, n\), il y a une constante additionnelle (50 euros), donc ce n’est pas une relation proportionnelle.

Conclusion : Seule la situation 2 (prix du lait) représente une situation de proportionnalité.

d) Réponses aux questions à l’aide des représentations graphiques

Longueur d’un côté d’un carré dont l’aire est de \(64\,\mathrm{m}^2\) :
Pour un carré, \(A = x^2\). On a donc
\[ x^2 = 64. \]
Pour trouver \(x\), on prend la racine carrée des deux côtés :
\[ x = \sqrt{64} = 8. \]
Réponse : La longueur d’un côté est d’environ \(8\) mètres.
Coût total pour \(8\) litres de lait :
La relation est \(C = 0,95 \, n\) avec \(n = 8\). Ainsi :
\[ C = 0,95 \times 8 = 7,6 \text{ euros.} \]
Réponse : Le coût total est de \(7,6\) euros.
Nombre d’entraînements pour un montant total de \(140\) euros :
On part de l’équation pour le club sportif :
\[ 50 + 15 \, n = 140. \]
Pour trouver \(n\), on soustrait 50 des deux côtés :
\[ 15 \, n = 140 - 50 = 90. \]
On divise par 15 :
\[ n = \frac{90}{15} = 6. \]
Réponse : \(6\) entraînements ont été suivis.

Ainsi, nous avons traduit les situations par des expressions mathématiques, représenté graphiquement chacune d’elles, identifié celle qui est proportionnelle et répondu aux questions à l’aide des graphiques et des calculs détaillés.