Exercices corrigés - Calcul littéral et problèmes - 10e
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Exercice 1
Exercice
On considère les situations suivantes :
L’aire d’un carré (en \(\mathrm{m}^2\)) se calcule en élevant la longueur de l’un de ses côtés (en m) à la puissance 2.
Le prix moyen d’un litre de lait dans une épicerie locale est de 0,95 euros.
Pour adhérer à un club sportif, il faut d’abord payer une cotisation de 50 euros, puis chaque entraînement auquel on assiste coûte 15 euros.
Traduisez chaque situation par une expression mathématique.
Représentez graphiquement chacune de ces situations.
Indiquez laquelle ou lesquelles représentent une situation de proportionnalité.
À l’aide des représentations graphiques, répondez aux questions suivantes :
- Quelle est la longueur, environ, d’un côté d’un carré dont l’aire est de \(64\,\mathrm{m}^2\) ?
- Quel est le coût total pour \(8\) litres de lait dans cette épicerie ?
- Combien d’entraînements ont été suivis si le montant total payé est de 140 euros ?
Exercice 2
Question : Pour chacune des situations suivantes, déterminez l’expression fonctionnelle correspondante. Indiquez également celles qui correspondent à une proportionnalité. Justifiez vos réponses.
Soit un cube dont l’arête mesure \(a\). Établissez l’expression du volume de ce cube en fonction de \(a\).
Un cycliste parcourt une course de \(60 \, \text{km}\) à vitesse constante. Sachant qu’il effectue les 20 premiers kilomètres en 40 minutes, trouvez l’expression fonctionnelle qui permet de calculer son temps de parcours en fonction de la distance parcourue.
Dans un atelier, chaque élève dessine un rectangle dont le périmètre est de \(50 \, \text{cm}\). À partir de la connaissance d’une des dimensions, exprimez la longueur de l’autre côté.
Lors d’une vente promotionnelle, une boutique applique une réduction de \(15\%\) sur tous ses articles. Déterminez l’expression qui donne le prix de vente d’un article en fonction de son prix initial.
Pour un polygone convexe comportant \(n\) côtés, déterminez l’expression permettant de calculer le nombre de triangles obtenus lors d’une triangulation réalisée à partir d’un sommet.
On vend \(750 \, \text{g}\) de cerises pour un montant de \(5,25 \,\) €. À partir du nombre de kilogrammes de cerises achetés, établissez l’expression qui permet de déterminer le prix à payer.
Exercice 3
Soit un entier \(m\).
- Exprimez l’entier qui suit immédiatement \(m\).
- Exprimez l’entier qui précède immédiatement \(m\).
- Exprimez le quart de \(m\).
- Exprimez le cube de \(m\).
Exercice 4
Question : Exprimez chacune des propositions avec une expression littérale :
- Un nombre qui se présente sous la forme d’un multiple de \(12\).
- Le résultat du produit de deux nombres.
- La valeur obtenue en multipliant un nombre par \(7\).
- Le résultat de la soustraction de deux nombres.
- Le produit de trois nombres entiers consécutifs.
- Une expression qui représente les deux tiers d’un nombre.
- Le périmètre d’un pentagone régulier.
- L’aire d’un carré.
- Une expression qui désigne un nombre pair.
Exercice 5
Traduis les phrases suivantes en expressions littérales :
Choisis un nombre \(a\), multiplie-le par 6, puis soustrais 2 au résultat.
Choisis un nombre \(b\), soustrais 2, puis multiplie le résultat par 6.
Choisis un nombre \(c\) et ajoute-lui le produit de 6 par 2.
Choisis un nombre \(d\), ajoute 2, puis multiplie le résultat par 6.
Choisis un nombre \(e\), multiplie-le par 2, puis soustrais 6 au résultat.
Choisis un nombre \(f\), soustrais 6, puis multiplie le résultat par 2.
Choisis un nombre \(g\), élève-le au carré, puis soustrais 3 au résultat.
Choisis un nombre \(h\), soustrais 3, puis élève le résultat au carré.
Exercice 6
Exercice
La bibliothèque de Camille comporte trois étagères :
- La première étagère contient \(y\) livres.
- La deuxième étagère contient \(8\) livres de plus que la première.
- La troisième étagère contient deux fois le nombre de livres de la première.
Exprime, en fonction de \(y\), le nombre de livres sur chaque étagère.
Exprime, en fonction de \(y\), le nombre total de livres dans la bibliothèque.
Si la première étagère contient \(5\) livres, quel est le nombre total de livres ?
Exercice 7
- Simplifiez les expressions littérales suivantes :
- \(5m + 3\)
- \(4pq\)
- \(2(p+q)\)
- \(q\)
- \(m + 6 + 2\)
- \(6 + 3r + 2s\)
- \(2s + 3r\)
- \((2+8)(7+3)\)
- \(5mq\)
- \(5m + 3\)
- Réécrivez ces expressions littérales en indiquant explicitement tous les signes de multiplication :
- \(7 \times (m+4)\)
- \(8 \times m \times n\)
- \(p \times q\)
- \(6 \times m^2\)
- \(n^2 \times q\)
- \(z\)
- \(9 \times z\)
- \(-3 \times t\)
- \((5+m) \times (4+m)\)
- \((u+v) \times (u+v)\)
- \(7 \times (m+4)\)
Exercice 8
Exercice. Représentez chaque énoncé à l’aide d’une expression littérale.
- Un multiple de 6.
- Un nombre impair.
- La moyenne de deux entiers consécutifs.
- La différence entre deux nombres impairs consécutifs.
- La somme des cubes de deux nombres quelconques.
- Les deux tiers d’un nombre.
- Le carré de la moitié d’un nombre.
- Le cube d’un nombre impair.
- Le quadruple d’un nombre diminué du tiers de ce nombre.
- La somme du tiers et des deux cinquièmes d’un nombre.
- Le volume d’un prisme rectangulaire exprimé en fonction de ses trois dimensions.
Exercice 9
Question : Soit les expressions suivantes à écrire sous forme réduite :
- \(5b \cdot 4\)
- \(y \cdot 6y\)
- \(2x \cdot 3x\)
- \(-3u \cdot u\)
- \(w \cdot w \cdot 5w\)
- \(-7 \cdot 9z\)
- \(3 \cdot 4p \cdot 6\)
- \(5q \cdot 2,5 \cdot 3q\)
- \(4a \cdot 5b\)
- \(a \cdot 7b \cdot 0,5\)
- \(-8 \cdot 9r\)
- \(t \cdot t \cdot 2s\)
Exercice 10
Exercice
Simplifiez les expressions littérales suivantes :
\(\left(-7xy\right)^3\)
\(2a \cdot a \cdot 8a\)
\((-z) \cdot z \cdot (-z)\)
\(\left(-3b^2\right)^3\)
\(-\left(cd^2\right)^2\)
\(4m \cdot \left(-3m\right)^3\)
\(-6p^2 \cdot 2p^3\)
\(\left(-2n^3q\right)^2\)
\(\left(\dfrac{3}{4}t\right)^2\)
\(\left(\dfrac{4z^3}{5}\right)^2\)
Exercice 11
Exercice
Déterminez si les expressions littérales suivantes sont identiques :
\(6y + 7 - 2y + 3\) et \(4y + 10\)
\(2 + 2t\) et \(4t\)
Exercice 12
Exercice 1. Réduis, si possible, les expressions littérales suivantes :
a) \(p + 5p\)
b) \(6q + 2q - 4q\)
c) \(2 + 3r\)
d) \(9s - 9s\)
e) \(t + t\)
f) \(3a + 3 + 0,5a\)
g) \(1,5k + 2k + 3,5k\)
h) \(8v - 3v\)
i) \(7 + w - 4\)
j) \(3x + 2 + x + 7\)
k) \(2y - y + 1\)
l) \(u + 15\)
Exercice 2. Réduis, si possible, les expressions littérales suivantes :
a) \(4m^2 + 2m + m^2 + 6 - 2m\)
b) \(2n + n^5 - n + 3n^3 + 5n^5 + n^2\)
c) \(-3p + 3p^4 - 3^4\)
d) \(6r^2 + 8r - 2r^2 - 3r\)
e) \(5s + 6t - 2s + 4\)
f) \(8u^2 - 4v + 7,5u^2 - v + 3\)
g) \(t^3 - 2t^3 + t^3\)
h) \(w^4 - w^3 + w^2 - w + w^2 - w^3 + w^4\)
Exercice 13
Question : Exercice
Simplifie, si possible, chacune des expressions littérales suivantes :
\(\; 12a^2b + 6ab^2 - 8a^2b\)
\(\; -90xy - 30xy\)
\(\; 24pz^2 - z^2\)
\(\; 600t^2 + 150t^2 \cdot (-4w)\)
\(\; 42m^2n - \left(19m^2n + 23m^2n\right)\)
\(\; (3b)^3 - 3 \cdot b^3 \cdot 4\)
\(\; w \cdot 18 \cdot v \cdot (-7) - (-7) \cdot w \cdot v\)
\(\; (5k)^2 - 2\cdot 5k \cdot (-3l) + (-3l)^2\)
\(\; (-9d)^2 - 81d - 45d\)
\(\; y \cdot 120y^4 - \left(-3y^2\right)^3\)
Exercice 14
Pour chaque item, donnez les monômes demandés :
- Trois monômes semblables.
- Deux monômes dont la partie littérale est \(ab^2\).
- Deux monômes semblables mais de degrés différents.
- Deux monômes semblables de degré 5 dont la somme est nulle.
- Deux monômes dont le produit est \(84a^3\) et dont la somme est un monôme de coefficient 20.
- Deux monômes dont la somme est nulle et dont le produit est \(16b^2\).
- Deux monômes dont la somme est nulle et dont le produit est \(-16a^6\).
- Deux monômes tels que leur produit, multiplié par \(4a\), donne \(144a^4\).
- Deux monômes dont le produit vaut 1.
- Deux monômes de même degré mais non semblables.
Exercice 15
Calcule et simplifie les expressions suivantes :
a) \(7(x+8)\)
b) \(b(4c+7d)\)
c) \(12(5t)\)
d) \(3z(z+x+y)\)
e) \(6(u-2)\)
Exercice 16
Déterminez si les expressions suivantes sont équivalentes :
\(4(2x+3)\) et \(8x+3\).
\(5(3y-2)\) et \(15y-10\).
\(6(4z\cdot 2)\) et \(24z\cdot 3\).
Exercice 17
Chaque expression de la colonne de gauche est équivalente à l’une des expressions de la colonne de droite. Associez-les.
Colonne de gauche :
a) \(2(3y - 2)\)
b) \(4y - 7y + 2y\)
c) \(0,5(4y + 6)\)
d) \(3y + 1 - 2y + 5\)
e) \(6(y - 3) + 18\)
f) \(5 - 2(3 - y)\)
g) \(y + y + 3y - 2y\)
h) \(4 + 7y - 7y - 3\)
i) \(2(2y + 1) - 2 - 4y\)
j) \(5y - 2y + 6\)
Colonne de droite :
1. \(6y - 4\)
2. \(-y\)
3. \(2y + 3\)
4. \(y + 6\)
5. \(6y\)
6. \(2y - 1\)
7. \(3y\)
8. \(1\)
9. \(0\)
10. \(3y + 6\)
Exercice 18
Exercice :
Pour chaque expression littérale ci-dessous, développez-la et réduisez-la au maximum :
- \(10(x + 7)\)
- \(4(3y - 9)\)
- \((-5x)(4 + x)\)
- \(5a - 7 + 3\)
- \(8(6y)\)
- \(-3(x - 4)\)
- \(18y + 2\)
- \(4(5c + 2) + 9\)
- \(7(3y + 8) - 5y\)
- \(2a + 4a - 9 + 3(7a)\)
Exercice 19
Exercice
Pour chacune des parties suivantes, identifiez les expressions équivalentes parmi celles indiquées.
a)
Identifiez parmi les expressions suivantes celles qui sont équivalentes : - \(4x\) - \(x + x + x + x\) - \(2x + 2x\) - \(\dfrac{8x}{2}\) - \(2(2x)\) - \(4(x+1)\) - \(4x+4\) - \(2(2x+2)\) - \(x \cdot x\) - \(x^2\) - \(\dfrac{x^3}{x}\) - \(x-4\) - \(-4+x\) - \(x+(-4)\) - \(x-2-2\) - \(2x\) - \(\dfrac{4x}{2}\) - \(x+x\)
b)
Identifiez parmi les expressions suivantes celles qui sont équivalentes : - \((pq)^2\) - \(p^2q^2\) - \(p^2 \cdot q^2\) - \(p+q\) - \(q+p\) - \(p+2q-q\) - \(9p^2\) - \((3p)^2\) - \(3p\cdot 3p\) - \(\dfrac{18p^2}{2}\) - \(p^2+p\) - \(p(p+1)\) - \(p+p^2\) - \(2pq\) - \(p\cdot 2q\) - \(q\cdot 2p\) - \(\left(\dfrac{p}{3}\right)^2\) - \(\dfrac{p^2}{9}\)
Exercice 20
a) Soit \(x\) l’âge de Marie. Exprimez son âge dans 7 ans en fonction de \(x\).
b) Soit \(x\) l’âge de mon oncle. Exprimez l’âge qu’il avait il y a 4 ans en fonction de \(x\).
c) Soit \(x\) le prix, en euros, d’un ticket de cinéma. Exprimez le coût de 4 tickets en fonction de \(x\).
d) Soit un rectangle dont la longueur mesure \(x\) centimètres et dont la largeur est égale à \(x - 5\) centimètres. Exprimez l’aire de ce rectangle en fonction de \(x\).
Exercice 21
Exercice
Considère les deux expressions suivantes :
- \((18x + 7) + (4x - 3)\)
- \((20x + 12) - (6x - 7)\)
Calcule la valeur de chacune de ces expressions pour \(x = 2\).
Réduis chaque expression, puis calcule leur valeur pour \(x = 2\). Le résultat obtenu est-il identique à celui de la question a) ?
D’après tes observations, formule une règle pour additionner et soustraire des polynômes.
Exercice 22
Question : Soit les polynômes suivants :
\[
A = 4m^2 - 3m + 8,
\] \[
C = -2m^3 + \frac{5}{6} m - 7,
\] \[
E = \frac{3}{5}x^2 - 2x,
\] \[
B = 10m - \frac{8}{3},
\] \[
D = -1 + \pi x.
\]
Déterminez leurs polynômes opposés.
Exercice 23
Soit les polynômes suivants : \[ A = 3x + 1,\quad B = 3x^2 + 4x,\quad C = 3x^3 + 2x^2 + x + 2, \] \[ D = x^3 - 3x^2,\quad E = 2x - 5,\quad F = x^2 + 3x + 1. \]
Effectuez les opérations suivantes en réduisant et en ordonnant les termes :
- \(A + E\)
- \(A - B\)
- \(B + F\)
- \(D + E - F\)
- \(C - D\)
- \(C + E\)
Exercice 24
Exercice
Simplifie, réduis et ordonne les expressions suivantes :
\((r+s) + (3r-2s)\)
\(\left(b^2-2c^2\right) + \left(4c^2+3b^2\right)\)
\((yz+y) - (y-yz)\)
\(\left(5p^2q+2pq^2\right) + \left(-2p^2q-pq\right)\)
\((3r-6rs+3s) - (6rs-3s)\)
\(r - [s-(r+s)]\)
\(\left(r^2s^2-rs\right) + \left(r^2s-rs^2\right)\)
\(\left(-t^2+tu+u^2\right) + \left(3t^2-tu+4u^2\right)\)
\(\left(d^3-d^2e+e^3\right) + \left(-3d^3+de^2-3e^3\right)\)
\((r+s+t) - (4r-4t)\)
Exercice 25
Soit les six polynômes suivants :
- \(A = x + 2\)
- \(B = x^2 + 2x - 3\)
- \(C = 3x - 1\)
- \(D = -x^3 + x - 2\)
- \(E = 2x^2 - 5\)
- \(F = -2x^3 - x^2 + 4x - 1\)
Effectuez les opérations, réduisez et ordonnez les polynômes obtenus :
- \(A + C\)
- \(A - C\)
- \(A + B + E\)
- \(D + F\)
- \(D - E\)
- \(C - A + B\)
- \(E + B\)
- \(B + F\)
- \(F - (D + B)\)
- \(B - C\)
- \(F - D\)
- \(D - (B - E)\)
Exercice 26
Question : Développez et réduisez les expressions suivantes :
- \((a+2)(b+3)\)
- \(3(7+6x)\)
- \((x+9)(x-9)\)
- \(\left(y+\frac{3}{4}\right)(y-1)\)
- \(\left(x^2+2\right)(x+4)\)
- \(\left(x^2+4\right)\left(x^2+2x-1\right)\)
- \((y+2)(y^2+2y+1)\)
- \((x+4)^2\)
- \((5+x)(5-x)\)
Exercice 27
Développez et/ou réduisez, si possible, les expressions littérales suivantes :
- \(3(x-3) + 7x\)
- \(2y + 5 - 3y + 8\)
- \(0,75x + 3(x-2)\)
- \(z + 6z\)
- \(4m - 9m\)
- \(15(1 - 4v)\)
- \(3a - 7a + 2a\)
- \(2y + 3(4+y) - 5\)
- \(8(2b+b+2) - 6b\)
- \(-5x + 6x\)
- \(0,25x - 3x\)
- \(w + 4 + 2(3w+3)\)
- \(4(x-5) + 5x\)
- \((t+3)(t+3)\)
- \(p + 2p - 4p\)
- \((3x+2)(x-2)\)
Exercice 28
Exercice
Écris, à l’aide d’expressions littérales :
le quart d’un nombre diminué de 15 ;
le carré de la différence entre un nombre et 4 ;
la superficie d’un rectangle en fonction de sa longueur \(l\) et de sa largeur \(L\) ;
un nombre à trois chiffres, où \(c\) représente le chiffre des centaines, \(d\) celui des dizaines et \(u\) celui des unités ;
une somme d’argent constituée uniquement de pièces de 2 euros ;
la différence entre deux multiples de 4 consécutifs ;
la moyenne arithmétique de trois nombres ;
la somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone en fonction du nombre de côtés ;
le quotient de deux nombres ;
le périmètre d’un cercle en fonction de son rayon ;
le volume d’un cube en fonction de la longueur de son arête.
Exercice 29
Exercice
Pour chacun des exemples suivants, déterminez la ou les valeur(s) de \(x\) (et de \(y\) si besoin) qui rendent l’égalité vraie.
- \(15 + x = 37\)
- \(5x = 35\)
- \(2x + 6 = x + 9\)
- \(x^2 + 3 = 52\)
- \(3x + 4y = 24\)
- \(24 = 3(x+2)\)
- \(4(x+5) = 4x + 20\)
- \(x + 10 = 2x\)
- \(\displaystyle \frac{x}{15} = 2\)
- \(2^x = 128\)
- \(x^3 = 9x\)
- \(5x - 8 = 12 + 3x\)
- \(x^2 = 16 - 4x\)
- \(xy = 15\)
- \(x + 3 = x + 5\)
Exercice 30
Exercice
- Associez chaque équation à son ensemble de solutions.
Équations : - (a) \(x = -3\) - (b) \(x^2 = 9\) - (c) \(x^2 = -3x\) - (d) \(\frac{x}{-3} = 1\) - (e) \(-3x = -9x\) - (f) \(x^2 = 3x\) - (g) \(x - 3 = 0\) - (h) \(x(x^2 - 9) = 0\) - (i) \(x + 3 = x - 3\) - (j) \(x^3 - 9x = 0\) - (k) \(x - 3 = x + 3\) - (l) \((x+3)(x-3) = 0\) - (m) \(2x^2 - 18 = 0\) - (n) \(6x = 0\) - (o) \(3x - x^2 = 0\)
Ensembles de solutions : - \(S_{1} = \{-3,\; 0,\; 3\}\) - \(S_{2} = \{-3\}\) - \(S_{3} = \{-3,\; 0\}\) - \(S_{4} = \{0\}\) - \(S_{5} = \{0,\; 3\}\) - \(S_{6} = \{3\}\) - \(S_{7} = \{-3,\; 3\}\) - \(S_{8} = \varnothing\)
- Déterminez les équations équivalentes.
Exercice 31
Complétez les énoncés suivants en écrivant l’expression fonctionnelle correspondant à chaque description ou notation.
- Multiplier un nombre par 5, puis ajouter 7.
(Écrivez-en la forme avec la notation fléchée, par exemple : \(x \longmapsto 5x + 7\).)
- Multiplier un nombre par 5, puis ajouter 7.
- \(x \longmapsto \frac{2x}{3}\).
- Soustraire 6 à un nombre, puis multiplier le résultat par 5.
(Par exemple : \(x \longmapsto 5(x - 6)\).)
- Soustraire 6 à un nombre, puis multiplier le résultat par 5.
- \(x \longmapsto (x + 4)^2\).
- Diviser un nombre par 4, puis le multiplier par 7.
(Indiquez son expression fonctionnelle, par exemple : \(x \longmapsto 7\left(\frac{x}{4}\right)\).)
- Diviser un nombre par 4, puis le multiplier par 7.
- \(x \longmapsto x^2 + 3\).
- Ajouter 3 à un nombre, puis en prendre le carré.
(Par exemple : \(x \longmapsto (x + 3)^2\).)
- Ajouter 3 à un nombre, puis en prendre le carré.
- Multiplier un nombre par 6, puis en prendre le septième.
(Par exemple : \(x \longmapsto \frac{6x}{7}\).)
- Multiplier un nombre par 6, puis en prendre le septième.
- \(x \longmapsto 3(x - 2)^3\).
- Tripler un nombre, élever le résultat au carré, puis soustraire 9.
(Par exemple : \(x \longmapsto (3x)^2 - 9\).)
- Tripler un nombre, élever le résultat au carré, puis soustraire 9.
Exercice 32
Michel a programmé des formules sur sa calculatrice. Pour chacune des situations ci-dessous, déterminez la formule utilisée en fonction du nombre entré \(x\).
- Les résultats obtenus sont les suivants :
| \(x\) | Résultat |
|---|---|
| 3 | 15 |
| 6 | 30 |
| 9 | 45 |
| 12 | 60 |
Trouver une formule reliant \(x\) au résultat.
- Les résultats obtenus sont les suivants :
| \(x\) | Résultat |
|---|---|
| 7 | 21 |
| 10 | 24 |
| 15 | 29 |
| 28 | 42 |
Trouver une formule reliant \(x\) au résultat.
- Les résultats obtenus sont les suivants :
| \(x\) | Résultat |
|---|---|
| 3 | 27 |
| 4 | 64 |
| 6 | 216 |
| 7 | 343 |
Trouver une formule reliant \(x\) au résultat.
Exercice 33
Exercice
À la fin de chaque phrase, indique le numéro de l’expression littérale correspondante parmi les suivantes :
- \((n+8) \times 20\)
- \(n \times n + 20\)
- \(n + 8 \times 20\)
- \(20 \times n + 8\)
- \(n - \frac{8}{20}\)
- \((n-20) \times 8\)
- \(8 \times n + 20\)
Associe chaque procédure à l’expression correspondante :
- Choisis un nombre \(n\), multiplie-le par vingt, puis ajoute huit au résultat.
- Choisis un nombre \(n\), ajoute-lui huit, puis multiplie le résultat par vingt.
- Choisis un nombre \(n\), soustrais vingt puis multiplie le résultat par huit.
- Choisis un nombre \(n\) et ajoute-lui le produit de huit et vingt.
- Choisis un nombre \(n\), multiplie-le par lui-même, puis ajoute vingt au résultat.
- Choisis un nombre \(n\), multiplie-le par huit, puis ajoute vingt au résultat.
- Choisis un nombre \(n\) et soustrais-lui le quotient de huit par vingt.
Exercice 34
Complétez le tableau suivant en vous inspirant de l’exemple donné :
| Langage usuel | La lettre | Correspond à | Expression littérale |
|---|---|---|---|
| a) le triple de la longueur | L | la longueur | \(3 \cdot L\) |
| b) le nombre augmenté de 8 | k | le nombre | \(k + 8\) |
| c) le cinquième du prix | p | le prix | \(\dfrac{p}{5}\) |
| d) le double de la somme économisée | s | la somme économisée | \(2 \cdot s\) |
| e) le nombre diminué de 15 | n | le nombre | \(n - 15\) |
| f) la masse augmentée de 12 kg | M | la masse | \(M + 12\) |
| g) les quatre septièmes de la distance | d | la distance | \(\dfrac{4}{7} \cdot d\) |
| h) le double de la largeur diminuée de 3 m | l | la largeur | \(2 \cdot l - 3\) |
| i) l’âge de Marie dans 5 ans | m | l’âge de Marie | \(m + 5\) |
Exercice 35
Exercice : Traduction en expressions littérales
Exprimez l’opération “le produit de 30 par \(a\)” sous forme d’expression littérale.
Exprimez l’opération “la somme de \(b\) et de 12” sous forme d’expression littérale.
Exprimez l’opération “le produit de 5 par la différence entre 25 et \(c\)” sous forme d’expression littérale.
Exprimez l’opération “la différence entre le produit de 80 par \(d\) et 6” sous forme d’expression littérale.
Exercice 36
Exercice
Complétez le tableau en vous inspirant de l’exemple :
| Expression littérale | Langage usuel | |
|---|---|---|
| a) | \(5 \cdot x\) | \(x\) est multiplié par 5 (ou le quintuple de \(x\)) |
| b) | \(\frac{z}{4}\) | \(z\) est divisé par 4 (ou le quart de \(z\)) |
| c) | \(7 \cdot y - 3\) | \(y\) est multiplié par 7, puis on soustrait 3 |
| d) | \(b^{2}\) | \(b\) est élevé au carré |
| e) | \(\frac{3}{2} \cdot t + 5\) | \(t\) est multiplié par \(\frac{3}{2}\), auquel on ajoute 5 |
| f) | \(\frac{4 \cdot m}{9}\) | On multiplie \(m\) par 4, puis le résultat est divisé par 9 |
| g) | \(2 \cdot (k - 3)\) | On multiplie par 2 la différence entre \(k\) et 3 |
Exercice 37
Exercice
- Pour chaque expression, remplacez la lettre \(y\) par le nombre indiqué, puis effectuez le calcul :
- Pour \(y = 3\) :
- \(y\)
- Pour \(y = 2\) :
- \(5 \cdot y\)
- Pour \(y = 4\) :
- \(y \cdot y\)
- Pour \(y = -1\) :
- \(3 + 8 \cdot y\)
Ensuite, simplifiez les expressions suivantes : - \(y^{2}\) - \(2 \cdot y + 7 \cdot y\) - \(5 \cdot y + 4\)
- Des expressions dites « équivalentes » donnent toujours la même valeur numérique. Y a-t-il ici des expressions équivalentes ?
Exercice 38
Reliez les expressions littérales équivalentes en traçant une ligne entre chacune d’elles et soulignez celle qui est sous forme simplifiée.
Voici les expressions :
- \(5 \cdot a \cdot 2\)
- \(a \cdot a \cdot a\)
- \(0 \cdot a + 6 \cdot b\)
- \(2 \cdot a + b\)
- \(8 - 3\)
- \(6b\)
- \(a^3\)
- \(10a\)
- \(5\)
- \(2a + b\)
Exercice 39
Question : Soit les expressions suivantes. Simplifiez-les :
- \(x \cdot x \cdot x \cdot x =\)
- \(p + p + p =\)
- \(7 \cdot q =\)
- \(15 \cdot n + 15 \cdot m =\)
- \(10 \cdot s \cdot 4 =\)
- \(t \cdot 1 + 8 \cdot u \cdot 3 =\)
Exercice 40
Exercice
Pour chacun des calculs suivants, indiquez d’un \(\checkmark\) s’il est correct ou écrivez la réponse correcte s’il est faux.
\(4b + 6b = 10b\)
\(z \cdot z \cdot z = 3z\)
\(0 \cdot p + 7 \cdot q = q\)
\(8 \cdot s + 15 \cdot t = 8s + 15t\)
\(2 \cdot c \cdot 7 \cdot c = 14c^{2}\)
\(49 \cdot m - 7 = 42m\)
\(4 \cdot z \cdot 3 + 5 \cdot z = 17z^{2}\)
Exercice 41
Exercice
- Remplace la variable \(x\) par le nombre indiqué dans le tableau ci-dessous, puis calcule le résultat.
| Expression littérale | Valeur de \(x\) | Résultat |
|---|---|---|
| \(5x\) | 3 | |
| \(4x - 6\) | 1,5 | |
| \(x^2 - 3\) | 3 | |
| \(3x + 2x\) | 4 | |
| \(3(x+2)\) | 2 | |
| \(3,8\) | - | |
| \(7\) | 3 |
- Quelles expressions sont équivalentes ?
Exercice 4
Réduis les expressions littérales suivantes :
- \(2 \cdot m \cdot 15\)
- \(p + p + p + p\)
- \(b \cdot b\)
- \(7y - 4y\)
- \(24 \cdot k + 36\)
- \(3z + 9 + 32\)
Exercice 42
a) Entoure en vert le coefficient et en rouge la partie littérale de chacun des monômes suivants. Indique, en dessous, le degré de chaque monôme. - \(-3a\) - \(4x^2\) - \(\displaystyle \frac{7}{3}b^3\) - \(0,8\) - \(2,1y \quad \displaystyle \frac{15y^2}{4}\) - \(k^3 \quad -m\) - \(6xy\) - \(-2rs\) - \(\displaystyle \frac{st}{3} \quad uvw\)
b) Associe les monômes semblables parmi ceux-ci: \[ \begin{array}{cccccccc} \displaystyle \frac{2x^3}{5} & z & 5z^3 & \displaystyle \frac{3x}{4} & 2,3x & -4z & z^3 & 2x^3 \\ -2x^3 & 4x^2 & -x & \displaystyle \frac{1}{4}z & \displaystyle \frac{z^3}{5} & 3,2z & x & \displaystyle \frac{z}{2} \end{array} \]
Exercice 43
Simplifiez les expressions suivantes :
- \(d \cdot (de) =\)
- \((5f)^2 =\)
- \(8g \cdot 3g =\)
- \(h^3 \cdot 4h^2 =\)
- \(\left(2h^3\right)^2 =\)
- \((3hk) \cdot (4hk) =\)
- \((-k)^2 =\)
- \(-k^2 =\)
- \((-k)^3 =\)
Exercice 44
Exercice :
Simplifiez chacune des expressions littérales suivantes.
Simplifiez : \[ a + 6a = \]
Simplifiez : \[ 9 + 2a = \]
Simplifiez : \[ -12t - 23t = \]
Simplifiez : \[ 8x^{2} - x = \]
Simplifiez : \[ 25z - 15 - 20z - 10 = \]
Simplifiez : \[ 3m + 3m = \]
Simplifiez : \[ 3m \cdot 5m = \]
Simplifiez : \[ 10p - 2p \cdot 3 = \]
Simplifiez : \[ 7xy - 7y + 9xy - 11y = \]
Simplifiez : \[ b^{2} \cdot 10 + 6c^{2} = \]
Exercice 45
Voici trois égalités vraies : \[ (5x^2-28x+3) + (3x^2+40x-9) = 8x^2+12x-6 \] \[ (7x+15) - (3x+22) = 4x-7 \] \[ (6x^2-12y+8) - (2x^2+3y-5) = 4x^2-15y+13 \]
En observant ces égalités, déduis une règle générale pour additionner et soustraire des polynômes.
Réduis les expressions littérales suivantes :
\((45m-32) - (20m+12)\)
\((-8c^2-35d+60) - (4c^2-15d-10)\)
\((3x^2y-5) + (10-3x^2y)\)
Exercice 46
Question : Exercice
Complétez le tableau suivant en remplissant les cases vides :
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 2x-3 & -2x+1 & 2x-3 \\ \hline 2x+3 & & \\ \hline 2x-1 & & \\ \hline -2x-3 & & \\ \hline -2x+3 & & \\ \hline \end{array} \]
Exercice 47
Exercice : Regroupement et simplification d’expressions littérales équivalentes
Simplifiez chacune des expressions suivantes :
- \(\;6y - (y + 2y)\;\)
- \(\;-3y - (y - 5)\;\)
- \(\;y + (-4y - 2) + 4\;\)
- \(\;3y - (5 - 2y)\;\)
- \(\;2 + y - (3y - 3)\;\)
- \(\;7y - 5\;\)
- \(\;8y - (y + 2y) - 2y\;\)
- \(\;4y - 2 - (3y + 3)\;\)
- \(\;2 - (y + 2) + 3y\;\)
- \(\;-(y + 2)\;\)
- \(\;y - (y - 5y)\;\)
- \(\;-(y + 3) + 5y\;\)
- \(\;3y - y\;\)
Exercice 48
Exercice
Déterminez quel polynôme il faut ajouter à \[ 8x-2 \] pour obtenir \[ 9x+7. \]
Pour chacune des égalités ci-dessous, trouvez l’expression à ajouter au premier membre pour obtenir le deuxième membre.
\(\quad x-3 \;+\; ? \;=\; x+1\)
\(\quad 4y+2 \;+\; ? \;=\; 2y-3\)
\(\quad x^3-2x \;+\; ? \;=\; x^3+x\)
\(\quad 2x+y \;+\; ? \;=\; 5x\)
\(\quad y^3-y^2 \;+\; ? \;=\; y^3+3y+2\)
\(\quad 2x^2+3x-4 \;+\; ? \;=\; -2x^2-3x+4\)
\(\quad 5z-2 \;+\; ? \;=\; z^2+4z\)
\(\quad 4m-6n \;+\; ? \;=\; -6m+4n\)
Exercice 49
Effectuez et réduisez :
\((7y + 9x) + (4x - 3y) =\)
\((7y + 9x) - (4x - 3y) =\)
\(\left(80c^{2} - 50d^{2}\right) + \left(60c^{2} - 30d^{2}\right) =\)
\(\left(80c^{2} - 50d^{2}\right) - \left(60c^{2} - 30d^{2}\right) =\)
\(52r^{2}u + 34r^{2} + \left(-58r^{2}u + 22r^{2}\right) =\)
\(52r^{2}u + 34r^{2} - \left(58r^{2}u - 22r^{2}\right) =\)
\(\left(9m^{2} - 27mn + 16n^{2}\right) + \left(m^{2} - 9mn + 4n^{2}\right) =\)
\(9m^{2} - 27mn + 16n^{2} - \left(m^{2} - 9mn + 4n^{2}\right) =\)
Exercice 50
Exercice
Calculez et simplifiez les expressions suivantes :
- \((x+5)(x+3) =\)
- \((a+2)(b-4) =\)
- \((x-3)(y+7) =\)
- \((2x-3)(-x+5) =\)
- \((y-6)(6+y) =\)
- \((-a+8)(b+2) =\)
- \((x-10)(y-3z) =\)
- \(\left(5x^2-2y\right)\left(3x^3+4y\right) =\)
Exercice 51
Exercice 1 : Identifier les erreurs commises par Marie‑Louise
Pour chacune des égalités suivantes, indiquez l’erreur éventuelle commise.
a) \(2m + 5m = 7m\)
b) \(4(a+3) = 4a + 3\)
c) \(2y \cdot y^2 = 2y^3\)
d) \(7z - 2 = 5z\)
e) \(8k - 5k = 3k\)
f) \(x \cdot x^4 = x^5\)
g) \((3p)^2 = 6p^2\)
h) \(2(q-4) = 2q - 4\)
i) \(3r + r = 3r^2\)
j) \(5x - x = 5\)
k) \(3 + 3d + 3 = 3d + 8\)
l) \((n+2)^2 = n^2 + 4\)
m) \(1{,}5w + w = 2{,}5w\)
n) \(4p \cdot 3q = 12p^2q\)
Exercice 2 : Effectuer et réduire les expressions littérales
a) \(7x - 2x =\)
b) \((3x - 4) \cdot 2x =\)
c) \((4m \cdot 2n) \cdot 5 =\)
d) \((5y + 7) - (3y - 2) =\)
e) \(2c^3 - 5c^3 =\)
f) \(\bigl(d^2\bigr)^3 =\)
g) \(-4x^2 - 4x^2 \cdot 5 =\)
h) \(\bigl(-3y\bigr)^3 =\)
i) \((8x - 3z) + (5z + 8x) =\)
j) \(x^2 \cdot x^3 =\)
k) \((2x - 6)(4x + 5) =\)
l) \(6x^2 - 5x - 4x^2 - 7x =\)
Exercice 3 : Effectuer et/ou réduire
a) \((3x)^2 =\)
b) \(7y \cdot 2y =\)
c) \(4x + 5x =\)
d) \(z \cdot (3z) =\)
e) \(6w^3 + 2w^3 =\)
f) \(3x \cdot 4x \cdot x =\)
g) \((2xy)^2 =\)
h) \(5m^2 - 3 + 2m^2 - 4 =\)
i) \((-2t)^2 =\)
j) \(9x - (4 - 2x) =\)
k) \(3ab + 6ab =\)
l) \(-8p + (-2p) =\)
m) \((4xy)(3xy) =\)
n) \(x + z + x + z - z =\)
o) \(8x + 3x - 5x - 2x =\)
p) \(-3s^2 - 4s^2 + 8s^2 =\)
q) \((-3uv)^2 =\)
r) \(y - \bigl[2y + (3 - y)\bigr] =\)
s) \((3z)^3 \cdot 0{,}5z =\)
t) \(2x^2 + 5xy + 4x^2 - 3xy =\)
Exercice 52
Exercice
Pour chaque paire d’expressions littérales suivantes, déterminez si elles sont équivalentes. Justifiez votre réponse.
\(7(x+y)\) et \(7x+7y\)
\(5(2p+3q)\) et \(10p+15q\)
\((x-y)^2\) et \(x^2-2xy+y^2\)
\((2a+3b)(2a-3b)\) et \(4a^2-9b^2\)
\(k(l+m)-k(l-m)\) et \(2km\)
\((3xy)^2\) et \(9x^2y^2\)
\((yz)^3\) et \(y^3z^3\)
\((p^q)^r\) et \(p^{qr}\)
\(\sqrt{c^2+d^2}\) et \(\sqrt{c^2}+\sqrt{d^2}\)
Exercice 53
Exercice : Simplifiez les expressions suivantes.
\(36c^2 - 4c^2\)
\(300 - 40t - 90t - 20\)
\(p(7p - 9)\)
\(20d - 3d \cdot 8\)
\((4r - 2s) + (4r + 2s)\)
\(3(8v + 2) - (12v - 5v + 7)\)
Exercice 54
Léa a inscrit les égalités suivantes dans son cahier :
- \(2p + 5p = 7p\)
- \(y - 3 = 2\)
- \(k + m = k + n\)
- \(4t + 4 = 4(t + 1)\)
- \(3q - 5 = 10\)
- \(r + s = s + r\)
- \((2u)^2 = 4u^2\)
- \(12 = w^2 - 3\)
En mathématiques, une égalité relie deux expressions à l’aide du symbole \(=\) et se lit dans les deux sens. Une équation est une égalité conditionnelle contenant une ou plusieurs inconnues et n’est vérifiée que pour certaines valeurs, appelées solutions. Par exemple, l’équation \[ x^2 - 4 = 0 \] n’est vraie que pour \(x = -2\) et \(x = 2\).
Analysez chacune des écritures ci-dessus pour déterminer si elle représente simplement une égalité générale ou une équation conditionnelle.
Exercice 55
Exercice
Calculer la valeur de l’expression \[ 5a(5-a) \] pour chacune des valeurs suivantes :
- \(a = 10\)
- \(a = 21\)
- \(a = 13\)
- \(a = 16\)
- \(a = 19\)
Exercice 56
Calculer la valeur de l’expression \(a + b - a\) pour chacun des cas suivants :
\(a=2\) et \(b=3\)
\(a=5\) et \(b=0\)
\(a=8\) et \(b=3\)
\(a=3\) et \(b=7\)
\(a=6\) et \(b=4\)
\(a=10\) et \(b=1\)
Exercice 57
Exercice :
Calculer la valeur de l’expression \[ a + b + a + b \] dans les cas suivants :
- \(a = 7\), \(b = 3\).
- \(a = 8\), \(b = 12\).
- \(a = 6\), \(b = 9\).
- \(a = 10\), \(b = 4\).
- \(a = 5\), \(b = 13\).
- \(a = 14\), \(b = 1\).
Exercice 58
Calculer la valeur de l’expression \[ 2a + 2b \] pour les cas suivants :
- \(a = 2\) et \(b = 3\)
- \(a = 5\) et \(b = 0\)
- \(a = 8\) et \(b = 3\)
- \(a = 3\) et \(b = 7\)
- \(a = 6\) et \(b = 4\)
- \(a = 1\) et \(b = 10\)
Exercice 59
Calculer la valeur de \(5ab\) pour les cas suivants :
- \(a = 3\) et \(b = 6\)
- \(a = 6\) et \(b = 0\)
- \(a = 8\) et \(b = 7\)
- \(a = 2\) et \(b = 10\)
- \(a = 5\) et \(b = 1\)
- \(a = 3\) et \(b = 4\)
Exercice 60
Exercice
Calculer la valeur de \[ 2ab + ab \] pour les cas suivants :
- \(a = 3\), \(b = 4\)
- \(a = 8\), \(b = 1\)
- \(a = 6\), \(b = 2\)
- \(a = 5\), \(b = 2\)
- \(a = 7\), \(b = 0\)
- \(a = 5\), \(b = 10\)
Exercice 61
Calculer l’expression \(a^2+1\) pour chacune des valeurs suivantes de \(a\):
- \(a = 7\)
- \(a = 10\)
- \(a = 4\)
- \(a = 11\)
- \(a = 8\)
- \(a = 0\)
Exercice 62
Exercice :
Calculer la valeur de \((a+1)^2\) pour chacune des valeurs suivantes :
- \(a = 7\)
- \(a = 10\)
- \(a = 4\)
- \(a = 11\)
- \(a = 8\)
- \(a = 0\)
Exercice 63
Calculer la valeur de \[ 2a^2 + 1 \] pour chacune des valeurs suivantes de \(a\) :
- \(a = 2\)
- \(a = 1\)
- \(a = 4\)
- \(a = 10\)
- \(a = 5\)
- \(a = 6\)
Exercice 64
Exercice :
Calculer l’expression \[
2\left(a^2+1\right)
\] pour les valeurs suivantes de \(a\) : 1. \(a = 2\) 2. \(a = 1\) 3. \(a = 4\) 4. \(a = 10\) 5. \(a = 5\) 6. \(a = 6\)
Exercice 65
Exercice :
Calculer la valeur de \(3ab\) pour les cas suivants :
- \(a = 1000\) et \(b = 0,01\)
- \(a = 200\) et \(b = 100\)
- \(a = 0,01\) et \(b = 0,2\)
- \(a = 2,5\) et \(b = 20\)
- \(a = 0,4\) et \(b = 0,5\)
Exercice 66
Exercice
Calculer la valeur de \(3a\) pour les valeurs suivantes de \(a\) :
- \(a = 0,03\)
- \(a = 0,09\)
- \(a = 1,1\)
- \(a = 0,12\)
- \(a = 1,2\)
- \(a = 25\)
- \(a = 2,5\)
- \(a = 70\)
Exercice 67
Soit \(a=2\) et \(b=3\). Calculez les expressions suivantes :
- \(a+b+a\)
- \(a+b-a\)
- \(a+b+a-b\)
- \(a+a+b+b\)
- \(2a+b-a\)
- \(2a-b+2a\)
- \(3a+2b-3a\)
- \(a+2b+a-2b\)
- \(a+b-a+2b\)
Exercice 68
Exercice
Remplacez \(a\) par \(3\) et \(b\) par \(5\) dans les expressions suivantes, puis effectuez le calcul :
- \(a + 5a\)
- \(2a + 3a + b\)
- \(9a + 3b + a\)
- \(4a + 2b - 4a\)
- \(2a + 3b + 3a + 2b\)
- \(5a + 2b + 4b + 3a\)
- \(2a + b - a + 2b - a\)
- \(6a - 3b + b\)
- \(5a - 2b + 3a - 2b\)
Exercice 69
Exercice
Substituez \(a = 20\) et \(b = 4\) dans chacune des expressions ci-dessous, puis effectuez les calculs :
\(3a + 9a + 2b + 5b\)
\(2a + 11a + 3b + 17b\)
\(55a + 5a + 4b + 6b\)
\(14a + 16b + 2a + 4b\)
\(13a + 4b + 7a + 2b\)
\(495a + 5a + 88b + 12b\)
Exercice 70
Exercice
Substituez \(x=4\) et \(y=5\) dans les expressions suivantes, puis calculez :
\(4x+6x+13y-3y\)
\(25y-5y+15x+25x\)
\(2x+14y+6y+18x\)
\(21x+17y-11x+13y\)
\(242x+97y-142x+3y\)
Exercice 71
Exercice :
Substituer \(a = 8\) et \(b = 5\) dans chaque expression suivante, puis effectuer le calcul :
- \(2a - b\)
- \(a + b\)
- \(2(a - b)\)
- \(ab - 22\)
- \(3a(a - b)\)
- \(a(ab - 39)\)
- \(ab(a - 4)\)
- \(6b(a + 2)\)
- \(2ab(a - b)\)
Exercice 72
Substituez les valeurs \(a = 0,1\) et \(b = 0,5\) dans chacune des expressions suivantes, puis effectuez les calculs :
- \(2a + b\)
- \(5a - b\)
- \(2a(a+b)\)
- \(2b(b-a)\)
- \(ab(b-a)\)
- \(70a + 30b\)
- \(2a + b - 2a\)
- \(10a + 4b\)
- \(a + 2b - a\)
Exercice 73
Exercice
Substituez \(a = 3\), \(b = 7\) et \(c = 21\) dans les expressions suivantes, puis calculez le résultat numérique :
\(2 \cdot a + c \cdot (a+b)\)
\(3 \cdot a \cdot b - 2 \cdot c + 9\)
\(b \cdot (3 \cdot c - b)\)
\((2 \cdot c - a) \cdot (3 \cdot b + 2)\)
Exercice 74
Substituez \(a = 0,1\), \(b = 20\) et \(c = 2\) dans les expressions ci-dessous, puis calculez :
\(5ab\)
\(\dfrac{b}{c} + ab\)
\(\dfrac{b}{c} + a\)
\((4a + 30c) \cdot b\)
\(2b - \dfrac{a}{c}\)
\(\dfrac{b}{c} - \dfrac{a}{c}\)
\(50b + \left(\dfrac{c}{b} + 0,019\right)\)
\(5b + \dfrac{b}{c}\)
\(\dfrac{2a + b}{c}\)
Exercice 75
Soit \[ a = 1,5,\quad b = 0,5,\quad c = 2. \] Substituez ces valeurs dans les expressions suivantes et calculez :
\((a+b) \cdot 10c\)
\(4(a+3b) - c\)
\(2,5(3a+b) - c\)
\(3c(a-b)\)
\((7,5+b)(2ac-b)\)
\((4ab-1,5) \cdot 2,8 + c\)
Exercice 76
Exercice : Substitution et Calcul
Substituez \(a = 2\) et \(b = 3\) dans les expressions suivantes, puis calculez :
- \(a^2 + 2\)
- \(a^3 - 5\)
- \(a^2 - b\)
- \(2b^2 - 10\)
- \(a + b^2\)
- \(a^2 + b^2\)
- \(5a^2 - 2b^2\)
- \(a^4 - b^2\)
Exercice 77
Exercice :
Calculer la valeur de \(3a \cdot \left(a^2 + b\right)\) dans les cas suivants :
- Lorsque \(a = 1\) et \(b = 2\).
- Lorsque \(a = 3\) et \(b = 5\).
- Lorsque \(a = 5\) et \(b = 7\).
Exercice 78
Calculer la valeur de l’expression \[ 2x^2y + y^2 \] pour les cas suivants :
- \(x = 0,1\) et \(y = 20\)
- \(x = 3\) et \(y = 1,5\)
- \(x = 2\) et \(y = 0,2\)
Exercice 79
Calculer la valeur de l’expression \[ 3a^2\left(2a+b^2\right) \] pour les valeurs suivantes :
- \(a=5\) et \(b=7\)
- \(a=0,5\) et \(b=4\)
- \(a=0,1\) et \(b=0,6\)
Exercice 80
Exercice
- Remplacer chaque lettre par un nombre de manière à ce que les égalités suivantes soient vraies :
- \(31 + 3 \cdot (12 + 2R) - 56 = 35\)
- \(\displaystyle \frac{\left(\frac{117}{S} + 27\right)}{8} + 18 = 36\)
- \(\displaystyle \left[4 + 2 \cdot (2 + 3A) + 12\right] \cdot 3 - 45 = 15\)
- \(35 - 3 \cdot (2V - 17) = 32\)
- \(5 \cdot \left[3 \cdot (5I - 6) + 14\right] = 130\)
- \(\displaystyle (120 - 5N + 2) \cdot 2 + 10 = 204\)
- \(\displaystyle (72 - 3L - 15) \cdot 2 + 3 \cdot 5 = 111\)
- \(3 \cdot (23 - 2E) + 18 - 12 = 33\)
- \(5 \cdot (7 + \mathbf{T}) - 4 \cdot (6 - 3 \cdot 2) + 4 = 79\)
- \((C + 2)^2 - 6^2 = 28\)
- Remplacer chaque chiffre par la lettre qui lui correspond pour déchiffrer le message suivant :
\(378409023,67183010587\)
Exercice 81
Calculer l’expression \[ -a - (b-3) \] pour chacune des valeurs suivantes :
- \(a = +8\)
- \(a = -5,6\) et \(b = +3\)
- \(a = -6\) et \(b = +12\)
- \(a = +128\) et \(b = -128\)
- \(a = +2,7\) et \(b = -4,1\)
- \(a = -0,3\) et \(b = +0,7\)
Exercice 82
Calculer \(\frac{x+3y}{z}\) pour :
- \(x = -7\), \(y = 6\), \(z = -1\)
- \(x = 6\), \(y = -5\), \(z = 3\)
- \(x = -12\), \(y = -1\), \(z = -5\)
- \(x = 2\), \(y = -4\), \(z = 2\)
Exercice 83
Calculer la valeur de l’expression \[ 5x^2 - 3x + 7 \] pour les valeurs de \(x\) suivantes :
- \(x = -1\)
- \(x = 1\)
- \(x = 3\)
- \(x = -7\)
Exercice 84
Substituer \(x = -2\) dans les expressions suivantes, puis calculer :
\(3x^2 - x - 2 - 3x - 5x^2\)
\(5x^2 + 3x - 7x^2 + 2x\)
\(12x^2 - 24x - 5x^2 + 14x - 7x^2\)
\(7x^3 + 3x - 5x^2 - x\)
Exercice 85
Calculer la valeur de l’expression \[ -5x^5 + 3x^4 - 7x^3 + 2x^2 - x + 15 \] pour les valeurs suivantes de \(x\) :
- \(x = -1\)
- \(x = -2\)
- \(x = 3\)
- \(x = -10\)
Exercice 86
Calculer la valeur de \[ 3x^2 y + 2xy^2 \] pour les valeurs suivantes :
\(x = 0\) et \(y = 2\)
\(x = -2\) et \(y = -1\)
\(x = 1\) et \(y = -3\)
\(x = -5\) et \(y = 2\)
Exercice 87
Soit \(a = -2\) et \(b = -1\). Remplacer ces valeurs dans chaque expression et calculer :
- \(\quad a^2 - 5\)
- \(\quad ab^2\)
- \(\quad a^2 + b^2\)
- \(\quad (a - b^2) \cdot a\)
- \(\quad a^2b - 1\)
- \(\quad a^2 - 5b\)
Exercice 88
Calculer la valeur de \[ 3a^2b + 5ab + b^3c^2 \] pour les valeurs données :
\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 2\)
\(a = -4\), \(b = -1\), \(c = -5\)
\(a = 0\), \(b = 4\), \(c = -3\)
Exercice 89
Exercice
Substituez les valeurs \(a = -1\), \(b = 2\) et \(c = -3\) dans les expressions suivantes et effectuez les calculs :
- \(a^2 - b + c\)
- \(a^2 b - b^2 + a c\)
- \(-a^2 + (-b)^3 - c\)
- \(-ac - b c^3\)
- \(ab - ac\)
- \(a^2 c - ac^2 - (ac)^2\)
Exercice 90
Substituez \(a = -3\) et \(b = +2\) dans les expressions suivantes, puis calculez :
- \((-a)^2 + b\)
- \(-a^2 - ab\)
- \(\left(-ab^2\right)^2\)
- \((-a)^2(-b)^2\)
- \(a^2b - b^2\)
- \((a+1)^2 \cdot (b-4)^2\)
Exercice 91
Calculer la valeur de \[ \frac{4xy-3xz+2}{x-y-xz} \] lorsque :
\(x=-\frac{1}{3}\), \(y=-\frac{1}{2}\), \(z=-\frac{2}{3}\)
\(x=\frac{1}{5}\), \(y=-\frac{1}{4}\), \(z=\frac{5}{3}\)
Exercice 92
Exercice
Simplifiez les expressions suivantes :
- \(a + a + a\)
- \(b + b + b + b + b\)
- \(c + c + c + c\)
- \(x + x + x + x + x + x + x\)
Exercice 93
Exercice : Réduction d’expressions
Réduisez les expressions suivantes :
- \(3x + 2x + 5x\)
- \(8b + 12b + 5b\)
- \(3a + 19a + 2a\)
- \(18x + 4x + 11x + 2x\)
- \(14c + 8c + 21c + c\)
- \(2a + 5a + 8a + 3a\)
Exercice 94
Simplifiez les expressions suivantes :
\(\;12a + 5a - 2a\;\)
\(\;8x - 3x + 2x\;\)
\(\;4b + 9b - 5b\;\)
\(\;14y + 2y - 8y + y\;\)
\(\;4x - x + 7x\;\)
\(\;8a + 3a - 8a + a - 2a\;\)
Exercice 95
Exercice : Réduire les expressions suivantes
- \[a+b+b+a+a\]
- \[x+x+y+x+y+x\]
- \[c+c+c+d+c+d+d\]
- \[a+b+b+c+a+c+c+a+a\]
Exercice 96
Réduisez les expressions suivantes :
- \(3a + 11a + 5b + 2b\)
- \(17a + 24b + 13a + 16b\)
- \(24x + 14y + 6y + 18x\)
- \(5a + 2b + 3a + 4b\)
- \(9x + 2a + 7x\)
- \(8b + 2b + 5a + b\)
Exercice 97
Exercice
Réduire les expressions suivantes :
- \(\:15a + 8b - 5a - 4b\)
- \(\:12x - 5x + 7b - 3b\)
- \(\:8a - 7a + 7b - 4b\)
- \(\:5x + 12y - x - 5y\)
- \(\:12a + 14c - 2a + 3c - 10a - 5c\)
- \(\:5x + 4y + 12x - 2y - 7x + y\)
Exercice 98
Simplifiez chacune des expressions algébriques suivantes :
- \(4a - 7a\)
- \(b - 5b\)
- \(2a - 5a + a - 7a\)
- \(x - 3x + 5x - 9x\)
- \(6y - 13y + y - 4y + 2y\)
- \(-4b + b - 5b + 3b + b\)
Exercice 99
Simplifiez les expressions suivantes :
\[5x + 12y - x - 14y\]
\[12a + 14b - 2a - 17b\]
\[3a + b - 5a + 2b\]
\[16x + 2y - 9y - 3x - 6y\]
\[2a - 7a + b - 3b + a\]
\[15x - 6y - 24x + 3y - x\]
Exercice 100
Réduisez les expressions suivantes :
\(2y - x + 3y + 4x - 12y\)
\(-6a + b - 9b - a + 2b\)
\(a - 7b + 2c - 5a + 3b - 4c\)
\(8x - 15y + 3z - 14x - 3x + y\)
\(3a - 28c + b - 4c - 21a - b\)
\(4a + 9b - 8c - 4a - 3b + 8c - 6b\)
Exercice 101
Exercice : Réduisez les expressions suivantes
- \(a^2 + a^2 + a^2\)
- \(b^2 + b^2 + b^2 + b^2 + b^2\)
- \(x^3 + x^3\)
- \(a^5 + a^5 + a^5 + a^5\)
Exercice 102
Exercice :
Réduisez les expressions suivantes :
- \(2x^{2} + 3x^{2} + 7x^{2}\)
- \(4a^{3} + 2a^{3} + a^{3} + 5a^{3}\)
- \(9a^{2} + 8a^{2} + 43a^{2}\)
- \(3y^{5} + 17y^{5} + 19y^{5} + y^{5}\)
Exercice 103
Exercice :
Simplifier les expressions suivantes :
- \(3a^2 + 5a^2 - 2a^2\)
- \(15x^4 - 7x^4 + 3x^4\)
- \(2b^3 + 5b^3 - 4b^3 + b^3 - 2b^3\)
- \(4c^2 - 2c^2 + 5c^2 - c^2 - c^2\)
Exercice 104
Exercice :
Réduisez les expressions suivantes :
\(a^{2} - 3a^{2}\)
\(2b^{3} - 6b^{3} - b^{3}\)
\(4x^{2} - 2x^{2} - 7x^{2} + x^{2} - 9x^{2}\)
\(3a + a - 7a - 8a - a\)
Exercice 105
Réduisez les expressions suivantes :
- \(a^2 + a + a + a^2 + a^2\)
- \(b + b^2 + b + b^3 + b^3 + b + b\)
- \(a^2 + a^2 + a + a^3 + a + a^3 + a^2 + a^3\)
- \(x + 2 + x + x + 3 + x + 1\)
Exercice 106
Réduisez les expressions suivantes :
\(15a^2 + 3a + 2a^2 + a + 6a\)
\(3x + 4 + 5x + x + 2\)
\(4x^2 + 9x + 2x^2 + 6 + 2x + 15\)
\(2y + 18y^2 + y + 4y + 5y^2\)
Exercice 107
Exercice : Réduisez les expressions suivantes en combinant les termes semblables :
\[ 5a^3 + 8a^2 + 12a^3 - 3a^2 \]
\[ 25x + 7x^2 - 3x^2 - 18x \]
\[ 2a^2 + 32a + 18a^2 - 19a - a^2 \]
\[ 81x^2 + 14x + 32 - 19x^2 - 5 + 2x \]
Exercice 108
Exercice
Réduisez les expressions suivantes :
- \(\; 3a^{2} - 5a - 5a^{2} + 7a \;.\)
- \(\; 18a + 8 - 14a - 71 \;.\)
- \(\; 8x - 9x^{2} - 91x + 8x^{2} \;.\)
- \(\; -14b^{2} + 13b + 2b^{2} - 41b^{2} - 19b \;.\)
Exercice 109
Exercice
Pour chacune des égalités suivantes, déterminez si elle constitue une identité :
- \(\displaystyle a + a - b + a - b - a + b = 2a - b\)
- \(\displaystyle 2b - b + 3b - 4b = b\)
- \(\displaystyle 3x - 4y - 7y = 3x - 12y\)
- \(\displaystyle 4a + 5b + 3a - b + 6a = 12a + 4b\)
- \(\displaystyle 17x - 4y - 5y + 7x + 14y - 20x = 4x + 5y\)
- \(\displaystyle -4b + 3a - b - 5a + 8b = -2a + 3b\)
Exercice 110
Exercice : Identités
Pour chaque égalité suivante, déterminer si elle est une identité.
- \(4 a^{2} - a^{2} - 5a^{2} = -2 a^{2}\)
- \(3 a^{3} - 5 a^{3} - 7a^{3} + a^{3} = -8 a^{3}\)
- \(13 y^{2} - 14 y^{2} + 5 y^{2} - 17 y^{2} = -2 y^{2}\)
- \(3 x^{2} + 4 x^{2} - x^{2} + 2 x^{2} - 5 x^{2} = 3 x^{2}\)
- \(-2 b^{3} + 6 b^{3} - 3 b^{3} + b^{3} = 4 b^{3}\)
- \(-4 a^{3} - 7 a^{3} + 15 a^{3} - 6 a^{3} = 6 a^{2}\)
Exercice 111
\[ \textbf{Exercice :} \]
Déterminez si les égalités suivantes sont des identités en simplifiant et en comparant les expressions obtenues :
\(\displaystyle 2x^{2} + 3x - x^{2} - 5x = 3x^{2} - 2x\)
\(\displaystyle 3y + 4y^{2} + 7y - 15y^{2} - 6y = 11y^{2} + 4y\)
\(\displaystyle 2a^{3} - a^{2} - 7a^{3} + 4a^{2} = -5a^{3} - 5a^{2}\)
\(\displaystyle -6x + 3 - 2x - 15 - 8x = -12\)
\(\displaystyle 4 - 3b + 2 - 5b - 3 = -2b + 3\)
\(\displaystyle 5y^{2} + 3 - 4y + 2y^{2} - 6 + 2y = 7y^{2} - 2y - 3\)
Exercice 112
Exercice
Exprimez la longueur de chacune des lignes suivantes en utilisant une formule :
Exercice 113
Exercice
Calculer :
\[2 \cdot (3x)\]
\[2 \cdot (2a)\]
\[3 \cdot (5y)\]
\[(4b) \cdot 3\]
\[(6x) \cdot 5\]
Exercice 114
Exercice :
Calculer :
- \(12 \cdot (9x)\)
- \((15a) \cdot 7\)
- \(2 \cdot (3a) \cdot 3\)
- \(6 \cdot 2b\)
- \(4 \cdot 5 \cdot 7b\)
Exercice 115
Calculer puis simplifier les expressions suivantes :
\(13 \cdot (4a) + 2 \cdot (15a)\)
\(5 \cdot (9b) + 4 \cdot (7b)\)
\(3a \cdot 12 + 5 \cdot (3a)\)
\(12x + 3 \cdot (6x) + 2 \cdot (x)\)
\((8a) \cdot 9 + 2 \cdot (7a) + 4 \cdot (16a)\)
Exercice 116
Calculer, puis réduire les expressions suivantes :
- \[ 3 \cdot (15b) - 3 \cdot (7b) \]
- \[ 12 \cdot (4a) - 5 \cdot (5a) + 6a \]
- \[ 7x - 3 \cdot (2x) + 9x \cdot 4 \]
- \[ 8x \cdot 2 + 4 \cdot (5x) - 18x \]
- \[ 15a \cdot 4 - 2 \cdot (13a) - 3 \cdot (5a) \]
Exercice 117
Exercice
Calculer :
- \(2 \cdot \left(3 x^2\right)\)
- \(4 \cdot \left(2 a^2\right)\)
- \(6 \cdot \left(5 b^2\right)\)
- \(3 \cdot \left(9 a^3\right)\)
- \(7 \cdot \left(4 x^3\right)\)
Exercice 118
Calculer :
- \(15 \cdot \left(7 x^{4}\right)\)
- \(\left(15 x^{4}\right) \cdot 7\)
- \(5 \cdot \left(2 a^{2}\right) \cdot 3\)
- \(8 \cdot 3 b^{4}\)
- \(6 y^{2} \cdot 2\)
Exercice 119
Calculer puis simplifier les expressions suivantes :
\(2 \cdot \left(5x^2\right) + 3 \cdot \left(4x^2\right)\)
\(6 \cdot \left(3a^3\right) - 2 \cdot \left(5a^3\right)\)
\(\left(6y^2\right) \cdot 9 + 12 \cdot \left(15y^2\right)\)
\(3a^2 \cdot 70 - 2 \cdot 4a^2 \cdot 5\)
\(6x^3 \cdot 8 + 13 \cdot 3x^3 - 18x^3\)
Exercice 120
Calculer puis réduire les expressions suivantes :
\(\;3 \cdot (2a^2) + 4a + 2 \cdot (5a)\)
\(\;6 \cdot (12x^2) + 3 \cdot (9x) + 2 \cdot (17x^2) - 5 \cdot (4x)\)
\(\;(15a) \cdot 3 + 8 \cdot (7a^2) - 4 \cdot (9a) - 7 \cdot (8a^2)\)
\(\;2x \cdot 4 + 12 - x \cdot 3 + 8\)
Exercice 121
Exercice :
Calculez les expressions suivantes :
- \(a \cdot a\)
- \(a \cdot (3a)\)
- \(b \cdot (5b)\)
- \((4x) \cdot x\)
- \(y \cdot (7y)\)
Exercice 122
Exercice : Calculs de produits de monômes
Calculer les expressions suivantes :
- \((2a) \cdot (3a)\)
- \((4x) \cdot (5x)\)
- \((8y) \cdot (6y)\)
- \(3x \cdot (15x)\)
- \(3 \cdot (15x) \cdot x\)
Exercice 123
Exercice
Calculez les expressions suivantes :
- \((2a) \cdot \left(3a^2\right)\)
- \(6x \cdot (4x) \cdot x\)
- \(a \cdot 3a \cdot 5a\)
- \(2y \cdot 4y^2 \cdot y\)
- \(x \cdot 7x^3 \cdot x^2 \cdot 5\)
Exercice 124
Calculer les expressions suivantes :
\(3x \cdot 4x + 2 \cdot 5x^{2}\)
\(6a^{2} \cdot 3 + 2a \cdot 5a - 4a^{2}\)
\(12a \cdot 3a \cdot 4a - 7a^{2} \cdot 8a\)
\(3y \cdot 8y + 12y^{2} - 5y \cdot 2y\)
Exercice 125
Développer chacun des produits suivants en utilisant la distributivité :
- \(2 \cdot (a+b)\)
- \(3 \cdot (a+x)\)
- \(5 \cdot (x-y)\)
- \((a+4) \cdot 2\)
- \((x-9) \cdot 15\)
Exercice 126
Exercice
Développez chacun des produits suivants en utilisant la distributivité :
- \(2 \cdot (2a + 3)\)
- \((5x - 8) \cdot 7\)
- \(12 \cdot (3a + b)\)
- \((2x + 3y) \cdot 8\)
- \(6 \cdot (5a - 2b)\)
Exercice 127
Exercice
Développez chacun des produits suivants en appliquant la distributivité :
\(a \cdot (a+3)\)
\(a \cdot (a^2+1)\)
\((x^2+4) \cdot x\)
\(b \cdot (b+b^2)\)
\(a \cdot (a^2+a)\)
Exercice 128
Utilisez la distributivité pour développer chacun des produits suivants :
- \(a \cdot (3a + 6)\)
- \(x \cdot (5x^2 + 2x)\)
- \(b \cdot (3b^2 + 5b)\)
- \((a^2 + 2a) \cdot a\)
- \((7b^2 - 6b) \cdot b\)
Exercice 129
Exercice
Développer chacun des produits suivants en appliquant la distributivité :
\(2a \cdot (a + 3)\)
\(4x \cdot (5x - 2)\)
\((3b + 4) \cdot 7b\)
\((3x^2 + 2) \cdot 2x\)
\(3a \cdot (8 + 5a^2)\)
\(5b \cdot (2b + 7)\)
Exercice 130
Exercice : Développement de produits
Développez chacun des produits suivants en utilisant la distributivité :
- \(x^2 \cdot (2x + x^2)\)
- \((3a - 9a^2) \cdot a^2\)
- \((2x^2 - 5) \cdot 3x^2\)
- \(5x^2 \cdot (8x - 9)\)
- \(7a^3 \cdot (3a^3 + 2a)\)
- \(3x \cdot (5x^2 - 3x)\)
Exercice 131
Développez chacune des expressions suivantes en appliquant la distributivité :
- \(4 \cdot (2x + 3y - 5)\)
- \(7 \cdot (8a - 7b + 3c - 4)\)
- \((9x - 31y + 14) \cdot 5\)
- \((15c + 18d + a) \cdot 9\)
- \(12 \cdot (-2a + 3b - 12)\)
- \((-x + 3y - 11) \cdot 17\)
Exercice 132
Exercice : Développement avec la Distributivité
Développez chacune des expressions suivantes en appliquant la distributivité :
- \(a \cdot \left(5a^2 + 3a + 7\right)\)
- \(\left(2x - 3x^2 + 9\right) \cdot x\)
- \((4y) \cdot \left(12 - y^2 + 5y\right)\)
- \(\left(-7x + 2x^2 - 8\right) \cdot 2x\)
- \(x^2 \cdot \left(2x + x^2 + 3\right)\)
- \(2a^2 \cdot \left(a^2 - 3a + 2\right)\)
Exercice 133
Exercice :
Développez en utilisant la distributivité, puis réduisez chacune des expressions suivantes :
\(2\cdot (x+3)+4\cdot (2x+1)\)
\((2x+7)\cdot 3+7\cdot (2+3x)\)
\(5\cdot (3a+b)+2\cdot (2b+4a)\)
\((a-b)\cdot 4+3\cdot (2b-a)\)
\(3\cdot (x-5)+(2x+12)\cdot 6\)
\(15\cdot (2x-y)+4\cdot (x-3y)\)
Exercice 134
Développez et réduisez les expressions suivantes en utilisant la distributivité :
\(3 \cdot \left(x^{2} - 9x\right) + 5 \cdot \left(x - x^{2}\right)\)
\(5 \cdot \left(-a^{2} + 7a\right) + 9 \cdot \left(2a - 5a^{2}\right)\)
\(2 \cdot \left(3x^{2} - 5x + 3\right) + \left(2x^{2} + 6x - 1\right)\)
\(7 \cdot \left(3x^{2} - x\right) + 8 \cdot \left(x^{2} - x + 1\right)\)
\(2 \cdot (b - 4) + 3 \cdot (4 - b)\)
\(12 \cdot (y + 5) + 4 \cdot (3y - 6)\)
Exercice 135
Exercice : Développer et réduire les expressions suivantes
Développer et réduire l’expression : \[a(a+3) + a(5+2a)\]
Développer et réduire l’expression : \[3a(2+a) + (2a+3)(2a)\]
Développer et réduire l’expression : \[x(5x-2) + 3x(15-x)\]
Développer et réduire l’expression : \[6y(y^2-4) + (3y^2+6)(2y)\]
Développer et réduire l’expression : \[4x(15-3x) + (6x-2)(9x)\]
Développer et réduire l’expression : \[a(a^2-a+3) + (a^3+2a^2)(8)\]
Exercice 136
Exercice : Développer et simplifier
Développez les expressions suivantes en appliquant la distributivité, puis simplifiez-les :
\[ 2b\left(b^2 + 3b + 1\right) + b\left(5b + 4\right) \]
\[ \left(6x^2 + 3x + 5\right)4x + 5x\left(2x^2 + 7\right) \]
\[ 6a\left(a^2 - 3a\right) + \left(2a^2 + 7\right)5a \]
\[ \left(3y^2 + 5y - 6\right)2 + 4y\left(7 - 8y\right) \]
\[ 8(2a+3b) + 7(4b - a) \]
\[ (21x + 16y)2 + 4(9x - 5y) \]
Exercice 137
Déterminez si les égalités suivantes sont des identités :
\(4 \cdot (5x) = 20x\)
\((16a) \cdot 3 = 19a\)
\(2 \cdot (3b) + 4 \cdot (5b) = 6b^2\)
\(6x \cdot 3 - 2 \cdot 8x + 3x = 5x\)
\(7 \cdot (6x^2) = 42x\)
\(5 \cdot (3x^2) - 4x^2 \cdot 8 = 17x^2\)
Exercice 138
Les égalités suivantes sont-elles des identités, c’est-à-dire, sont-elles vraies pour toutes les valeurs des variables ?
\[ a^2 \cdot 2a = 2a^2 \]
\[ (3x) \cdot (4x) = 7x^2 \]
\[ (7y)^2 \cdot (2y^2) = 14y^2 \]
\[ 5a \cdot 3a - 7a^2 = 8a^2 \]
\[ 14a \cdot a \cdot (2a) = 16a^3 \]
Exercice 139
Exercice
Appliquez la règle de distributivité pour démontrer que chacune des égalités suivantes est incorrecte :
- \[5 \cdot (x - y) = 5x - y\]
- \[12 \cdot (2a + 3b) = 24a + 48b\]
- \[a^2 \cdot (2a + 7) = 2a^3 - 7a^2\]
- \[6 \cdot (3x + 2y - 8) = 18x + 16y - 48\]
- \[x \cdot (x - 5) + (x - 5) \cdot x = 2x^2\]
Exercice 140
Exercice
Exprimer par une formule la longueur de chacune des lignes suivantes :
Nous désignerons la longueur de cette ligne par la lettre \(E\).
Nous désignerons la longueur de cette ligne par la lettre \(F\).
Nous désignerons la longueur de cette ligne par la lettre \(G\).
Calculer chacune des sommes suivantes et, pour chacune, tracer une ligne dont la longueur est donnée par la somme correspondante :
- \(E + F\)
- \(E + G\)
- \(F + G\)
- \(E + E\)
- \(G + G + G\)
- \(E + F + G\)
Exercice 141
Calculer les produits suivants :
- \((-1) \cdot a\)
- \((-1) \cdot 3x\)
- \((-2) \cdot 5a\)
- \((-7) \cdot 8x\)
Exercice 142
Calculer les produits suivants :
- \(12 \cdot (-2b)\)
- \((-3x) \cdot 8\)
- \((-3) \cdot (-9a)\)
- \((-6) \cdot (-15c)\)
Exercice 143
Calculer les produits suivants :
\((-1) \cdot x^{2}\)
\((-3) \cdot (4a^{3})\)
\((-5) \cdot (-2b^{2})\)
\((-6x^{2}) \cdot (-12)\)
Exercice 144
Calculer les produits suivants :
- \(4b^2 \cdot (-3)\)
- \((-3) \cdot 2x^3 \cdot (-5)\)
- \((-2) \cdot (-4a) \cdot (-7)\)
- \(\left(3b^5\right) \cdot (-6)\)
Exercice 145
Exercice
Calculer les produits suivants :
- \((-a) \cdot a\)
- \(b \cdot (-3b)\)
- \((-x) \cdot x \cdot (-x)\)
- \((-2b) \cdot (4b)\)
Exercice 146
Calculer les produits suivants :
- \((-3b) \cdot (-2) \cdot (4b^2)\)
- \(-2x \cdot (3x^2)\)
- \(5a^2 \cdot (-4a)\)
- \((-3x^2) \cdot (-21x)\)
Exercice 147
Exercice : Calcul des produits
Calculer et simplifier les expressions suivantes :
- \((-2x) \cdot (-9x^{2})\)
- \(9a^{3} \cdot (-a^{4})\)
- \((-2y) \cdot (3y^{2})\)
- \(-7a^{2} \cdot (5a^{3})\)
Exercice 148
Calculer les expressions suivantes :
\(\left(-18a^3\right) \cdot \left(-3a^2\right)\)
\((-4x) \cdot \left(-5x^2\right) \cdot 3x\)
\(17b^2 \cdot (-3b)\)
\((-15y) \cdot (-4) \cdot \left(-2y^3\right)\)
Exercice 149
Développez chacune des expressions suivantes en utilisant la distributivité :
- \((-1)(a+b)\)
- \((-3)(x+y)\)
- \((-2)(a-b)\)
- \((c-4)(-3)\)
Exercice 150
Développer chacun des produits suivants en appliquant la distributivité :
\((-3) \cdot (2a + b)\)
\((5x - 7) \cdot (-2)\)
\(-8 \cdot (a - 2b)\)
\(-4 \cdot (2b - 3c)\)
Exercice 151
Exercice
Remplacez chaque expression par une expression équivalente écrite sans parenthèses :
- \(-(2a - b)\)
- \(-(x + 2y)\)
- \(-\left(a^2 + 3a - 4\right)\)
- \(-\left(2a^3 - 17a^2 + 3a\right)\)
Exercice 152
Exercice : Réécrire sans parenthèses
Réécrire chacune des expressions suivantes en supprimant les parenthèses :
- \(-\left(17a + 8b - 4c\right)\)
- \(-\left(-12a + 17a^2\right)\)
- \(-\left(-a^2 - 2a^3 + 7a - 1\right)\)
- \(-\left(4x^2 - 4x + 14\right)\)
Exercice 153
Exercice
Remplacez chacune des expressions suivantes par une expression équivalente écrite sans parenthèses :
- \(-\left(-2a^2+3a-7\right)\)
- \(-\left(3x^2+2-2x\right)\)
- \(-\left(3y-5y^2+2\right)\)
- \(-\left(-9a^2+7a-13\right)\)
Exercice 154
Exercice :
Développez chacun des produits en utilisant la distributivité :
- \((-a) \cdot (a+1)\)
- \((-x) \cdot (2x+3)\)
- \((-b) \cdot (b-2)\)
- \((-a-5) \cdot (-a)\)
Exercice 155
Développez les expressions suivantes en appliquant la distributivité :
- \(-2a \times (a+4)\)
- \(-3b \times (b-9)\)
- \(-7a \times (3a-4)\)
- \((-2x-6) \times (-8x)\)
Exercice 156
Exercice
Développez les expressions suivantes en appliquant la distributivité :
- \((-4x) \cdot \left(x^2 - 3x + 2\right)\)
- \(\left(-a^3 + 2a - 8\right) \cdot (-5a)\)
- \(-2a^2 \cdot (3a - 8)\)
- \(\left(7b^2 - 12b - 4\right) \cdot \left(-5b^2\right)\)
Exercice 157
Réduisez chacune des expressions suivantes :
- \((3a + 2b - 4) + (5a + 8)\)
- \((-12a - 17b + 12c) + (21b - 24a + c)\)
- \((5a - x + 2) + (14x - 23a - 1)\)
- \((-2a - b + 2x) + (5a - 21b + 13x)\)
- \((4a + 17b - 9) + (3b - 15a + 2)\)
- \((12x - 3y) + (4 - 9y) + (5x - 8)\)
Exercice 158
Exercice : Simplifier chacune des expressions suivantes
- \(\left(2a^2 + 5a\right) + \left(3a^2 - 7a\right)\)
- \(\left(5x^2 + 3x\right) + \left(2x^3 - 9x^2 + 2x\right)\)
- \(\left(12x^4 - 5x + 2\right) + \left(-4x^4 + 12x - 8\right)\)
- \(\left(8a^3 + 12a - a^2\right) + \left(4a - 19a^3\right)\)
- \(\left(-2y^2 + 5y + 2\right) + \left(21y^2 - 9y + 1\right)\)
- \(\left(3x^2 - 57x\right) + \left(-21x^2 + 84x\right)\)
Exercice 159
Exercice : Réduction d’expressions
Réduisez chacune des expressions ci-dessous :
\(-\left(2a + 3b\right) + \left(5a - b\right)\)
\(-\left(6x - 13y\right) + \left(4y - 5x\right)\)
\(-\left(4a - 9\right) + \left(7 - 30a\right)\)
\(-\left(4b - 12a + c\right) + \left(4c - 15a - 2b\right)\)
\(-\left(3x + 2y - 9\right) + \left(14 - 23x + 12y\right)\)
\(-\left(-8b + 4c + 3d\right) + \left(-9d + 2b - c\right)\)
Exercice 160
Exercice : Réduire chacune des expressions suivantes
- \((2a + 3b) - (a + b)\)
- \((4x + 3y) - (2x + y)\)
- \((16a + 9) - (5a - 3)\)
- \((-5a + 3b + 1) - (8b + 2a)\)
- \(-(-2a + 3b - 53) - (7a - b + 81)\)
- \(-(-9x + 7a - 13b) - (-12a + 24x - 42b)\)
Exercice 161
Réduisez chacune des expressions suivantes :
\[ -\left(18x^{2} - 3x + 7\right) + \left(19x^{2} + 13x + 1\right) \]
\[ -\left(x^{2} + x - 1\right) + \left(x^{2} - x - 1\right) \]
\[ -\left(3a - 7a^{2} + 7a\right) + \left(3a^{2} + 10a - 10a^{2}\right) \]
\[ -\left(14x^{2} + 2x - 1\right) + \left(12x - 3\right) \]
\[ -\left(3x^{2} - 5x + 2\right) + \left(-8x^{2} + 7x\right) \]
\[ -\left(-21a^{2} + a^{3} - a\right) + \left(14a^{2} + 7a - 12a^{3}\right) \]
Exercice 162
Exercice :
Simplifiez chacune des expressions suivantes :
- \(\left(97 x^{2} + 8\right) - \left(13 x^{2} + 4\right)\)
- \(\left(21 x^{2} - 3 x + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\)
- \(\left(-5 a + a^{2}\right) - \left(3 a - 5 a^{2}\right)\)
- \(\left(2 a - 3 a^{2}\right) - \left(7 a^{2} + a^{3} - 9 a\right)\)
- \(-\left(12 x^{3} - 7 x^{2} + x\right) - \left(-x^{3} + x^{2} - x\right)\)
- \(-\left(-3 b^{2} + 72 b\right) - \left(21 b - 9 b^{2} - 4 b\right)\)
Exercice 163
Un abonnement de ski coûte 18 fr. pour un adulte et 14 fr. pour un enfant.
- Calculez le montant à payer pour 3 adultes et 5 enfants.
- Exprimez par une formule le prix total pour \(x\) adultes et \(y\) enfants.
Exercice 164
Exercice :
On achète 48 bouteilles de vin. Parmi elles, \(x\) sont des bouteilles de vin rouge ; les autres sont des bouteilles de vin blanc. Une bouteille de vin rouge coûte 8 fr, tandis qu’une bouteille de vin blanc coûte 5 fr.
Écrire les formules suivantes :
- Le nombre de bouteilles de vin blanc.
- Le coût des bouteilles de vin rouge.
- Le coût des bouteilles de vin blanc.
- Le coût total des 48 bouteilles.
Exercice 165
Soit un porte-monnaie contenant : - \(x\) pièces de 5 fr, - un certain nombre de pièces de 2 fr, - un certain nombre de pièces de 1 fr.
Le nombre de pièces de 1 fr est supérieur de 4 à celui des pièces de 5 fr, et le nombre de pièces de 2 fr est inférieur de 2 à celui des pièces de 5 fr.
Exprimer par des formules : 1) le nombre de pièces de 1 fr ; 2) le nombre de pièces de 2 fr ; 3) la somme totale en francs contenue dans le porte-monnaie.
Exercice 166
Exercice :
Pierre a \(x\) francs. Marie possède deux fois cette somme, soit \(2x\) francs. Lydia a 50 francs de moins que la somme de l’argent de Pierre et Marie.
Exprimez sous forme d’expressions algébriques :
- La somme possédée par Marie.
- La somme possédée par Lydia.
- La somme totale que possèdent Pierre, Marie et Lydia.
Exercice 167
Un héritage doit être partagé entre trois personnes : David, Claude et Isabelle. Selon le testament, David reçoit la somme totale que perçoivent Claude et Isabelle. De plus, la part de Claude est inférieure de 2000 fr. à celle d’Isabelle.
On note \(x\) la somme reçue par Isabelle.
- Exprimez en fonction de \(x\) la part de Claude et celle de David, ainsi que le montant total de l’héritage.
- En déduire la part de chacun et le montant total de l’héritage dans le cas où Isabelle reçoit 5000 fr.
Exercice 168
Exercice :
Soit un carré de côté \(x \; \mathrm{cm}\). On modifie ce carré en diminuant de 15 cm chacun deux côtés parallèles et en allongeant de 15 cm chacun les deux autres côtés, ce qui permet d’obtenir un rectangle (avec \(x > 15\)).
Écrire des formules qui expriment :
- La longueur du rectangle ;
- La largeur du rectangle ;
- L’aire du rectangle.
Exercice 169
Soit un commerçant qui achète \(x\) œufs à 35 centimes l’unité.
Exprimer, en fonction de \(x\), le montant total payé par le commerçant.
Si 14 œufs se cassent pendant le transport, exprimer, en fonction de \(x\), le nombre d’œufs restants.
Les œufs restants sont revendus à 45 centimes l’unité. Exprimer, en fonction de \(x\), la somme totale encaissée par le commerçant.
Comparer le montant encaissé avec le montant payé et déterminer si le commerçant réalise un bénéfice ou une perte.
Exercice 170
Exercice :
Soit deux nombres tels que leur différence est \(27\) et la lettre \(x\) désigne le plus petit des deux nombres.
Exprimez en fonction de \(x\) :
- Le plus grand des deux nombres.
- Le double du plus grand des deux nombres.
Exercice 171
Sarah possède \(x\) francs. Albert possède \(x - 22\) francs. Ensuite, Albert donne la moitié de ce qu’il possède à Claude.
Formulez des expressions pour :
- La somme qu’Albert possédait avant le partage.
- La somme reçue par Claude.
Exercice 172
Exercice
Dans une salle de gymnastique, les élèves sont disposés en trois rangées. La deuxième rangée compte deux fois le nombre d’élèves de la première rangée, et la troisième rangée compte un élève de plus que la deuxième rangée.
Soit \(x\) le nombre d’élèves de la première rangée.
- Exprimez par une formule le nombre d’élèves de la deuxième rangée.
- Exprimez par une formule le nombre d’élèves de la troisième rangée.
Exercice 173
\[ \textbf{Exercice} \]
On installe une barrière le long de chacun des deux bords d’un tronçon de route de longueur \(x\) mètres. Des piquets sont plantés tous les mètres. La barrière coûte 4 francs par mètre et chaque piquet coûte 3 francs.
- Exprimez le coût total en fonction de \(x\).
- Utilisez cette formule pour calculer le coût total lorsque \(x = 100\) m.
Exercice 174
Exercice
Pour entourer un champ rectangulaire d’une barrière, on installe un piquet tous les mètres en commençant par l’un des coins du champ. Le coût de la barrière est de 5 fr. par mètre, et chaque piquet coûte 2 fr. La largeur du champ est notée \(x\) et sa longueur \(y\).
- Établir une formule pour calculer le coût total de l’installation de la barrière, en tenant compte à la fois du prix de la barrière et de celui des piquets.
- Utiliser cette formule pour déterminer le coût total lorsque le champ mesure 15 mètres de largeur et 40 mètres de longueur.
Exercice 175
Soit \(x\) un nombre entier. Exprimer :
- Le double de \(x\).
- Le quintuple de \(x\).
- \(x\) augmenté de 4.
- Le triple de \(x\), augmenté de 2.
- \(x\) diminué de 3.
- L’entier suivant \(x\).
- L’entier précédent \(x\).
Exercice 176
Exercice
On définit trois entiers consécutifs comme trois nombres qui se suivent immédiatement. Soit \(x\) le premier de ces nombres.
- Exprimez les deux entiers suivants en fonction de \(x\).
- Donnez une expression algébrique pour la somme de ces trois nombres.
Exercice 177
Soit un nombre composé de deux chiffres identiques. Exprimez ce nombre à l’aide d’une formule en utilisant la lettre \(x\) pour représenter l’un des chiffres.
Exercice 178
La somme de trois nombres est égale à 185. On note par la lettre \(\times\) le plus petit de ces nombres, et le deuxième nombre est égal au double du premier.
Exprimer par une formule : 1) Le deuxième nombre. 2) Le troisième nombre. 3) Un tiers du deuxième nombre. 4) Le double du troisième nombre.
Exercice 179
Exercice
En magasin, on trouve des briques de jus d’orange d’une capacité de 1 litre et des bouteilles de jus de pamplemousse d’une capacité de 0,5 litre.
On réalise un mélange composé à parts égales de jus d’orange et de jus de pamplemousse. On note \(x\) le nombre de bouteilles de jus de pamplemousse utilisées pour constituer le mélange.
- Exprimer en fonction de \(x\) le nombre total de litres du mélange obtenu.
- Exprimer en fonction de \(x\) le nombre de litres de jus d’orange utilisés.
Exercice 180
Soit \(a = -2\) et \(b = +5\). Remplacez ces valeurs dans chacune des expressions suivantes et calculez :
\(\left(a^{2} + b - 2ab\right) - \left(2a^{2} + 3b\right)\)
\(\left(3a + 2b^{2}\right) - \left(5a + b^{2}\right)\)
\(-\left(5a^{2}b - b^{2}\right) - \left(-3a^{2}b + b^{2}\right)\)
\(-\left(3a - 2b + a^{2}\right) + \left(5a - 3b + 2a^{2}\right)\)
\(-\left(7a^{2} - b\right) - \left(2a^{2} + 8b\right)\)
\(\left(11a - 2b^{2}\right) - \left(9a - 4b^{2}\right)\)
Exercice 181
Complétez les espaces vides par des monômes afin d’obtenir des identités :
\[ \ldots - 5x + \ldots - 5x^2 + 3x = -2x^2 \]
\[ 6a^2\,\ldots - 5 - 7a\,\ldots\ldots = 17a^2 - 4a + 7 \]
\[ \ldots + 14b + 17ac - 5a\,\ldots\ldots = 4ac - 7b + 8a \]
\[ \ldots - 16\,\ldots\ldots - 14x^2 + 8x = 5x^2 + 5x + 5 \]
Exercice 182
Exercice.
Pour chacune des expressions suivantes, indiquer quel terme doit être ajouté pour obtenir l’expression demandée.
Quel terme ajouter à
\[ x - y \]
pour obtenir
\[ x\,? \]Quel terme ajouter à
\[ a^2 - b^2 \]
pour obtenir
\[ 2a^2\,? \]Quel terme ajouter à
\[ x + y + z \]
pour obtenir
\[ x - z\,? \]Quel terme ajouter à
\[ x^3 + x^2 - x \]
pour obtenir
\[ 2x^3 - x^2 + 2x\,? \]Quel terme ajouter à
\[ a^2 + b^2 \]
pour obtenir
\[ a^2 - b^2\,? \]Quel terme ajouter à
\[ 2x^2 + y^2 - z^2 \]
pour obtenir
\[ 4x^2 + y^2 + 2z^2\,? \]
Exercice 183
Exercice
Développer en appliquant la distributivité, puis simplifier les expressions suivantes :
\(4a^2b \cdot (2a + 3b^2 + 5ab)\)
\(5ab \cdot (3a^2 + 2ab - 9a^3)\)
\(5a^3b^2 \cdot (2a + 3a^2b + 12b)\)
\(2a^2 \cdot (3a + a^2 + 2)\)
\(5ab \cdot (7b^2 + 2a^2b + 8a)\)
\(9a^2b \cdot (ab^2 + a - 5b^2)\)
Exercice 184
Exercice :
Développez chaque expression en appliquant la distributivité, puis réduisez :
- \[ 2 \cdot \left(3x^2 - 5x + 2\right) + 3 \cdot \left(8x^2 - x\right) \]
- \[ -5 \cdot \left(2x^2 - 5\right) + 7 \cdot \left(-3x^2 + 1\right) \]
- \[ 8 \cdot \left(3x + 1\right) + 3 \cdot \left(2x^2 - 5x + 2\right) \]
- \[ 7 \cdot \left(3x^2 - x\right) + 8 \cdot \left(x^2 - x + 1\right) \]
- \[ -12 \cdot \left(3x^2 + x + 1\right) - 2 \cdot \left(x^2 - 5\right) \]
- \[ 8 \cdot \left(3x^2 - x + 3\right) - 3 \cdot \left(x^2 - 9x\right) \]
Exercice 185
Exercice :
Développez les expressions suivantes en appliquant la distributivité, puis réduisez-les :
\[ 3\cdot\left(x^{2}-9x\right) + 5\cdot\left(x-x^{2}\right) \]
\[ 5\cdot\left(-a^{2}+7a\right) - 9\cdot\left(2a-5a^{2}\right) \]
\[ 2\cdot\left(3x^{2}-5x+3\right) - \left(2x^{2}+6x-1\right) \]
\[ 3\cdot\left(-2y^{3}+5y+2y^{2}\right) + 4\cdot\left(y^{3}-2y-y^{2}\right) \]
\[ -2\cdot\left(3a-a^{2}\right) - 9\cdot\left(4a+5a^{2}\right) \]
\[ -4\cdot\left(a^{2}+7a^{3}+a\right) + 3\cdot\left(-a^{2}+2a^{3}-7a\right) \]
Exercice 186
Développer par distributivité puis simplifier les expressions suivantes :
- \(-9\cdot\left(x^{2}-2x+3\right) + 2\cdot\left(-x^{2}+3x-1\right)\)
- \(2\cdot\left(x^{3}-5x^{2}+13x\right) - 3\cdot\left(2x^{3}-9x^{2}-x\right)\)
- \(-2\cdot\left(a^{2}+7a\right) + 7\cdot\left(-3a+8a^{2}\right)\)
- \(5\cdot\left(-4x^{2}-12x\right) - 2\cdot\left(-30x+3x^{2}\right)\)
- \(-2\cdot\left(x^{2}-5x+2\right) - 3\cdot\left(-x^{2}+7x\right)\)
- \(-9\cdot\left(2u^{2}-7u\right) + 8\cdot\left(u-4u^{2}\right)\)
Exercice 187
Exercice
Un marchand de meubles propose des éléments pour bibliothèque selon le tableau suivant :
| Modèle de l’élément | largeur | hauteur | profondeur | prix |
|---|---|---|---|---|
| A |
Un client souhaite agencer ces éléments de la façon suivante :
| (A) | (A) | (A) | ||
|---|---|---|---|---|
| (A) | (B) | (B) | (B) | |
| (A) | (A) |
- Calculer le volume total de la bibliothèque.
- Calculer le prix total de cette bibliothèque.
- Déterminer la longueur totale des rayons.