Exercice 16

Exercice

Soit \(g\) une relation sur \(\mathbb{Z}\) définie par la règle suivante : \(y\) est l’image de \(x\) si la somme \(x + y\) est strictement positive.

Représentez graphiquement la relation \(g\).
Déterminez si \(g\) définit une application.

Réponse

La représentation graphique consiste à tracer la droite y = –x et à colorier les points dont y > –x (situés au-dessus de la droite). De plus, g n’est pas une application car un même x peut correspondre à plusieurs y vérifiant x + y > 0.

Corrigé détaillé

Nous avons une relation \(g\) sur \(\mathbb{Z}\) définie par
\[ y \text{ est l'image de } x \quad \text{si et seulement si} \quad x + y > 0. \]

Nous allons examiner la situation étape par étape.

1. Représentation graphique de la relation \(g\)

Étape 1 : Comprendre la condition

La relation \(g\) se compose de tous les couples \((x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) tels que
\[ x + y > 0. \] On peut aussi écrire cette inégalité sous la forme
\[ y > -x. \]

Étape 2 : Représenter la condition sur le plan

Le plan \((x, y)\) est constitué de points dont les coordonnées \(x\) et \(y\) sont des entiers.
La frontière de l’inégalité est la droite d’équation
\[ x + y = 0 \quad \text{ou} \quad y = -x. \]
La condition \(x + y > 0\) signifie que l’on considère tous les points qui se trouvent au-dessus de la droite \(y = -x\).

Étape 3 : Dessin sur une grille

Si l’on trace sur une grille (avec des cases représentant les points à coordonnées entières) la droite \(y = -x\), on remarque que :

Les points situés strictement au-dessus de cette droite (c’est-à-dire ceux qui satisfont \(y > -x\)) appartiennent à la relation \(g\).
Par exemple :
- Pour \(x = 0\), la condition devient \(y > 0\) : on prend donc tous les points \((0, 1)\), \((0, 2)\), \((0, 3)\), etc.
- Pour \(x = 1\), la condition devient \(1 + y > 0 \iff y > -1\) : on prend \(y \geq 0\) (les entiers supérieurs à \(-1\)).
- Pour \(x = -2\), la condition devient \(-2 + y > 0 \iff y > 2\) : on prend alors \(y \geq 3\).

Représentation graphique simplifiée :

Sur le plan avec l’axe horizontal pour \(x\) et l’axe vertical pour \(y\), tracez la droite \(y = -x\). Ensuite, coloriez tous les points de la grille pour lesquels \(y > -x\).

Ainsi, la représentation graphique de \(g\) est l’ensemble des points du plan entier situés au-dessus de la droite \(y = -x\).

2. Déterminer si \(g\) définit une application

Définition d’une application :

Pour qu’une relation \(f : A \to B\) soit une application, il faut que : 1. Pour tout élément \(x \in A\), il existe au moins un \(y \in B\) tel que \(f(x) = y\) (c’est-à-dire que la relation est définie pour tout \(x\) de \(A\)). 2. Pour tout \(x \in A\), il existe un unique \(y \in B\) tel que \(f(x) = y\).

Analyse pour la relation \(g\) :

Existence :
Pour chaque \(x \in \mathbb{Z}\), il existe des entiers \(y\) tels que \(x + y > 0\).
Par exemple :
- Pour \(x = 0\), \(y = 1\) convient puisque \(0 + 1 = 1 > 0\).
- Pour \(x = -5\), \(y = 6\) convient puisque \(-5 + 6 = 1 > 0\).
Unicité :
La condition \(x + y > 0\) n’impose pas que le \(y\) choisi soit unique.
Par exemple :
- Pour \(x = 1\), la condition est \(1+y>0 \iff y > -1\).
  Ainsi, \(y = 0\), \(y = 2\), \(y = 100\) … sont tous des solutions.
- Pour \(x = 0\), \(y > 0\) : on peut choisir \(y = 1\), \(y = 2\), \(y = 3\), etc.

Puisqu’il existe plusieurs \(y\) pour un même \(x\), la relation \(g\) n’associe pas de manière unique un élément \(y\) à chaque \(x\).

Conclusion :

La relation \(g\) ne définit pas une application car, pour un même \(x\), il existe plusieurs \(y\) vérifiant \(x+y > 0\). En d’autres termes, le critère d’unicité n’est pas respecté.

Réponse finale

La représentation graphique de la relation \(g\) consiste à tracer la droite \(y = -x\) sur une grille d’entiers et à colorier tous les points au-dessus de cette droite (où \(x+y>0\)).
La relation \(g\) ne définit pas une application car pour chaque \(x \in \mathbb{Z}\) il existe plusieurs \(y \in \mathbb{Z}\) tels que \(x+y>0\).