Exercice 9

Exercice

Comment peut-on insérer le signe \(+\) entre les chiffres de \(123456789\) afin d’obtenir une somme égale à \(99\) ?

Réponse

La solution est : 12 + 3 + 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 99.

Corrigé détaillé

Nous allons chercher à regrouper les chiffres de \(123456789\) en formant plusieurs nombres, de façon à ce que leur somme soit égale à \(99\). L’idée est de combiner certains chiffres pour obtenir des nombres à deux (ou plusieurs) chiffres au lieu de les additionner un par un. Notez que la somme des chiffres isolés est :

\[ 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45, \]

or \(45\) est bien inférieur à \(99\). Pour « augmenter » la valeur totale, il faut former des nombres à plusieurs chiffres. Par exemple, si l’on combine les deux premiers chiffres pour obtenir \(12\) au lieu de \(1+2=3\), on gagne :

\[ 12 - (1+2) = 12 - 3 = 9. \]

L’objectif est donc de choisir judicieusement les regroupements pour obtenir exactement \(54\) de plus (puisque \(45+54=99\)).

Une solution possible est la suivante :

\[ 12 + 3 + 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 99. \]

Vérifions étape par étape :

1. Formation des groupes
   Nous regroupons les chiffres ainsi :

   • Regrouper \(1\) et \(2\) pour obtenir \(12\).
   • Garder \(3\) seul.
   • Garder \(4\) seul.
   • Regrouper \(5\) et \(6\) pour obtenir \(56\).
   • Garder \(7\) seul.
   • Garder \(8\) seul.
   • Garder \(9\) seul.

   On respecte bien l’ordre des chiffres de \(123456789\).

2. Calcul de la somme

   • D’abord, calculons \(12+3\) :
     \[ 12+3=15. \]
   • Ensuite, ajouter \(4\) :
     \[ 15+4=19. \]
   • Ajouter \(56\) :
     \[ 19+56=75. \]
   • Ajouter \(7\) :
     \[ 75+7=82. \]
   • Ajouter \(8\) :
     \[ 82+8=90. \]
   • Enfin, ajouter \(9\) :
     \[ 90+9=99. \]

3. Conclusion
   On a bien obtenu la somme \(99\). La solution complète est :

   \[ \boxed{12+3+4+56+7+8+9 = 99.} \]

Cette démarche montre comment, en regroupant judicieusement les chiffres, on peut faire varier la valeur de chaque terme et ainsi obtenir la somme désirée.