Exercice 3

Question : Complétez les carrés magiques suivants de sorte que la somme des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale principale soit constante.

1. \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 3 & \quad & b \\ \hline \quad & b+2 & \quad \\ \hline \quad & \quad & 2b \\ \hline \end{array} \]

2. \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline m-2 & 2,5 & m+0,5 \\ \hline \quad & \quad & \quad \\ \hline \quad & m+2,5 & \quad \\ \hline \end{array} \]

3. \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline m+20 & \quad & \quad \\ \hline \quad & \quad & \quad \\ \hline m+12 & \quad & m+4 \\ \hline \end{array} \]

Réponse

Réponse courte :

– Carré 1 : Aucune solution (les conditions mènent à la contradiction 6 = 5).
– Carré 2 : On a m = 13 et S = 27 ; le carré complété est
  11  2,5  13,5
  11,5 9  6,5
  4,5 15,5 7.
– Carré 3 : Pour tout m, S = 3m + 36 et le carré complété est
  m + 20 m + 4  m + 12
  m + 4  m + 12 m + 20
  m + 12 m + 20 m + 4.

Corrigé détaillé

Voici la correction complète de chacun des trois carrés magiques.

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Carré magique 1

Le carré est donné par

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 3 & \quad & b \\ \hline \quad & b+2 & \quad \\ \hline \quad & \quad & 2b \\ \hline \end{array} \]

On doit compléter les cases vides (quatre cases inconnues, que nous nommerons \(X\), \(Y\), \(U\) et \(V\)) de sorte que la somme de chaque ligne, chaque colonne et de chacune des deux diagonales soit égale à une constante \(S\).

Étape 1 : Recenser les cellules connues et inconnues

On définit : - Ligne 1 : \(a_{11}=3,\; a_{12}=X,\; a_{13}=b\). - Ligne 2 : \(a_{21}=Y,\; a_{22}=b+2,\; a_{23}=Z\) (on nomme ici \(Z\) la troisième valeur de la deuxième ligne). - Ligne 3 : \(a_{31}=U,\; a_{32}=V,\; a_{33}=2b\).

Étape 2 : Rédiger les équations des sommes (somme magique \(S\))

1. Première ligne :
   \[ 3+X+b=S \quad\Rightarrow\quad X=S-3-b. \]
2. Deuxième ligne :
   \[ Y+(b+2)+Z=S \quad\Rightarrow\quad Y+Z=S-b-2. \]
3. Troisième ligne :
   \[ U+V+2b=S \quad\Rightarrow\quad U+V=S-2b. \]
4. Première colonne :
   \[ 3+Y+U=S \quad\Rightarrow\quad Y+U=S-3. \]
5. Deuxième colonne :
   \[ X+(b+2)+V=S \quad\Rightarrow\quad X+V=S-b-2. \]
6. Troisième colonne :
   \[ b+Z+2b=S \quad\Rightarrow\quad Z+3b=S \quad\Rightarrow\quad Z=S-3b. \]
7. Diagonale principale :
   \[ 3+(b+2)+2b=S \quad\Rightarrow\quad 5+3b=S. \]
8. Diagonale secondaire :
   \[ b+(b+2)+U=S \quad\Rightarrow\quad 2b+2+U=S \quad\Rightarrow\quad U=S-2b-2. \]

Étape 3 : Contrainte sur \(S\) et incompatibilité

L’équation (7) nous donne directement \[ S=5+3b. \] Une propriété bien connue des carrés magiques (dans le cas 3×3 ayant toutes les lignes, colonnes et diagonales égales) est que la case centrale doit valoir \(S/3\). Or, ici la case centrale vaut \(b+2\). Ainsi, nous devrions avoir :

\[ b+2=\frac{S}{3}=\frac{5+3b}{3}. \]

Multiplions par 3 :

\[ 3(b+2)=5+3b \quad\Rightarrow\quad 3b+6=3b+5. \]

En simplifiant, on trouve :

\[ 6=5, \]

ce qui est impossible. Cette contradiction montre que les conditions imposées par le carré ne peuvent pas être satisfaites.

Conclusion Pour le Carré 1

Il n’existe aucune valeur de \(b\) et aucune affectation aux cases inconnues qui permette de compléter ce carré magique. Autrement dit, aucun carré magique ne vérifie ces conditions.

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Carré magique 2

Le deuxième carré est

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline m-2 & 2,5 & m+0,5 \\ \hline \quad & \quad & \quad \\ \hline \quad & m+2,5 & \quad \\ \hline \end{array} \]

Nous souhaitons déterminer la valeur de \(m\) et compléter les cases manquantes.

Positionnement et notations

On note : - Ligne 1 : \(a_{11}=m-2,\; a_{12}=2.5,\; a_{13}=m+0.5\). - Ligne 2 : \(a_{21}=A,\; a_{22}=B,\; a_{23}=C\). - Ligne 3 : \(a_{31}=D,\; a_{32}=m+2.5,\; a_{33}=E\).

Soit \(S\) la somme magique.

Étape 1 : Déterminer \(S\) avec la première ligne

La somme de la première ligne est :

\[ (m-2)+2.5+(m+0.5)=2m+1. \]

Donc

\[ S=2m+1. \]

Étape 2 : Utiliser la propriété du centre

Dans tout carré magique 3×3, la case centrale vaut \(S/3\). Ici, \(a_{22}=B\) donc

\[ B=\frac{2m+1}{3}. \]

Étape 3 : Écrire les équations issues des lignes, colonnes et diagonales

1. Colonne 2 : \[ 2.5+B+(m+2.5)=S. \] Remplaçons \(B\) et \(S\) : \[ 2.5+\frac{2m+1}{3}+m+2.5=2m+1. \] Simplifions le côté gauche : \[ m+5+\frac{2m+1}{3}=2m+1. \] Multiplions par 3 pour éliminer le dénominateur : \[ 3(m+5)+2m+1=3(2m+1). \] Calculons : \[ 3m+15+2m+1=6m+3 \quad\Rightarrow\quad 5m+16=6m+3. \] D’où \[ 16-3=6m-5m\quad\Rightarrow\quad m=13. \]

2. Majorer la somme magique \(S\) et le centre :

   Avec \(m=13\), \[ S=2\times 13+1=27, \quad B=\frac{27}{3}=9. \]

3. Colonne 1 :

   La somme de la colonne 1 est \[ (m-2)+A+D= (13-2)+A+D= 11+A+D. \] Cette somme doit être égale à \(27\) : \[ A+D=27-11=16. \quad\text{(Éq. 1)} \]

4. Colonne 3 :

   La somme de la colonne 3 est \[ (m+0.5)+C+E= (13+0.5)+C+E= 13.5+C+E. \] On a : \[ C+E=27-13.5=13.5. \quad\text{(Éq. 2)} \]

5. Ligne 2 :

   \[ A+B+C=A+9+C=27 \quad\Rightarrow\quad A+C=18. \quad\text{(Éq. 3)} \]

6. Ligne 3 :

   La somme de la ligne 3 est \[ D+(m+2.5)+E= D+15.5+E=27 \quad\Rightarrow\quad D+E=27-15.5=11.5. \quad\text{(Éq. 4)} \]

7. Diagonale principale (de \(a_{11}\) à \(a_{33}\)) :

   \[ (m-2)+B+E= (13-2)+9+E= 11+9+E=20+E=27 \quad\Rightarrow\quad E=7. \quad\text{(Éq. 5)} \]

8. Diagonale secondaire (de \(a_{13}\) à \(a_{31}\)) :

   \[ (m+0.5)+B+D= (13+0.5)+9+D= 13.5+9+D=22.5+D=27 \quad\Rightarrow\quad D=4.5. \quad\text{(Éq. 6)} \]

Étape 4 : Déterminer les autres inconnues

• D’après l’Éq. 1 : \(A+D=16\) avec \(D=4.5\) donne \[ A=16-4.5=11.5. \]
• Dans l’Éq. 3 : \(A+C=18\) avec \(A=11.5\) donne \[ C=18-11.5=6.5. \]
• Vérifions l’Éq. 2 : \(C+E=6.5+7=13.5\) ce qui est bien.
• L’Éq. 4 : \(D+E=4.5+7=11.5\) est vérifiée.

Résumé du carré complété

Nous avons :

• \(m=13\) et \(S=27\).
• Rangée 1 : \(a_{11}=13-2=11,\; a_{12}=2.5,\; a_{13}=13+0.5=13.5.\)
• Rangée 2 : \(a_{21}=A=11.5,\; a_{22}=9,\; a_{23}=C=6.5.\)
• Rangée 3 : \(a_{31}=D=4.5,\; a_{32}=13+2.5=15.5,\; a_{33}=E=7.\)

On peut vérifier rapidement, par exemple la diagonale secondaire : \[ a_{13}+a_{22}+a_{31}= 13.5+9+4.5=27. \]

Le carré magique 2 complété s’écrit donc :

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 11 & 2.5 & 13.5 \\ \hline 11.5 & 9 & 6.5 \\ \hline 4.5 & 15.5 & 7 \\ \hline \end{array} \]

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Carré magique 3

Le troisième carré est

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline m+20 & \quad & \quad \\ \hline \quad & \quad & \quad \\ \hline m+12 & \quad & m+4 \\ \hline \end{array} \]

Nous laisserons \(m\) en paramètre et compléterons en fonction de \(m\). Soit \(S\) la somme magique.

Positionnement et notations

On note : - Ligne 1 : \(a_{11}=m+20,\; a_{12}=X,\; a_{13}=Y\). - Ligne 2 : \(a_{21}=Z,\; a_{22}=W,\; a_{23}=U\). - Ligne 3 : \(a_{31}=m+12,\; a_{32}=V,\; a_{33}=m+4\).

Étape 1 : Écrire les sommes par lignes

1. Ligne 1 : \[ (m+20)+X+Y=S \quad\Rightarrow\quad X+Y=S-m-20. \]
2. Ligne 3 : \[ (m+12)+V+(m+4)=2m+16+V=S \quad\Rightarrow\quad V=S-2m-16. \]

Étape 2 : Écrire la somme par colonnes

1. Colonne 1 : \[ (m+20)+Z+(m+12)=2m+32+Z=S \quad\Rightarrow\quad Z=S-2m-32. \]
2. Colonne 2 : \[ X+W+V=S. \]
3. Colonne 3 : \[ Y+U+(m+4)=S \quad\Rightarrow\quad Y+U=S-m-4. \]

Étape 3 : Écrire les sommes par diagonales

1. Diagonale principale : \[ (m+20)+W+(m+4)=2m+24+W=S \quad\Rightarrow\quad W=S-2m-24. \]
2. Diagonale secondaire : \[ Y+W+(m+12)=S \quad\Rightarrow\quad Y=S-W-m-12. \] En remplaçant \(W=S-2m-24\) : \[ Y=S-(S-2m-24)-m-12=2m+24-m-12=m+12. \] Ainsi, nous trouvons \[ Y=m+12. \]

Étape 4 : Déterminer les autres inconnues

• Revenons à la ligne 1 :
  \[ (m+20)+X+(m+12)=2m+32+X=S \quad\Rightarrow\quad X=S-2m-32. \]

• Nous remarquons que dans la colonne 1,
  \[ Z=S-2m-32, \] donc \(X=Z\).

• Dans la colonne 3 , on a :
  \[ Y+U+(m+4)= (m+12)+U+(m+4)=2m+16+U=S \quad\Rightarrow\quad U=S-2m-16. \]

• La colonne 2 donne :
  \[ X+W+V=S. \] Or, \(W=S-2m-24\) et \(V=S-2m-16\) (puisque d’après la ligne 3, \(V=S-2m-16\)). Ainsi : \[ X+(S-2m-24)+(S-2m-16)=S. \] Regroupons : \[ X+2S-4m-40=S \quad\Rightarrow\quad X= S- (2S-4m-40)=4m+40-S. \] Mais nous avions déjà \(X=S-2m-32\). Ainsi, nous imposons : \[ S-2m-32=4m+40-S. \] Résolvons cette équation :

  \[ 2S=6m+72 \quad\Rightarrow\quad S=3m+36. \]

• Dès lors, nous pouvons exprimer toutes les inconnues en fonction de \(m\) :

  • \(S=3m+36\).
  • \(X=S-2m-32=(3m+36)-2m-32=m+4\).
  • \(Y=m+12\) (déjà trouvé).
  • \(Z=S-2m-32=m+4\).
  • \(W=S-2m-24=(3m+36)-2m-24=m+12\).
  • \(U=S-2m-16=(3m+36)-2m-16=m+20\).
  • \(V=S-2m-16=(3m+36)-2m-16=m+20\).

Vérification rapide

• Ligne 1 :
  \[ (m+20)+(m+4)+(m+12)=3m+36=S. \]
• Ligne 2 :
  \[ Z+W+U=(m+4)+(m+12)+(m+20)=3m+36=S. \]
• Ligne 3 :
  \[ (m+12)+(m+20)+(m+4)=3m+36=S. \]
• De même, la somme dans chaque colonne et chaque diagonale s’obtient de la même façon.

Le carré magique 3 complété s’écrit donc :

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline m+20 & m+4 & m+12 \\ \hline m+4 & m+12 & m+20 \\ \hline m+12 & m+20 & m+4 \\ \hline \end{array} \]

avec \(S=3m+36\).

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Conclusion générale

1. Carré 1 : Les conditions imposées conduisent à une contradiction (le centre devrait valoir \(S/3\) ce qui conduirait à \(b+2=\frac{5+3b}{3}\), c’est-à-dire \(3b+6=3b+5\)). Il n’existe donc pas de solution pour ce carré.

2. Carré 2 : On trouve \(m=13\) et le carré complété est

   \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 11 & 2.5 & 13.5 \\ \hline 11.5 & 9 & 6.5 \\ \hline 4.5 & 15.5 & 7 \\ \hline \end{array} \]

3. Carré 3 : En fonction de \(m\), la solution est

   \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline m+20 & m+4 & m+12 \\ \hline m+4 & m+12 & m+20 \\ \hline m+12 & m+20 & m+4 \\ \hline \end{array} \]

   avec la somme magique \(S=3m+36\).

Cette démarche détaillée explique comment aboutir à ces résultats et montre que, parmi les trois carrés proposés, seul le deuxième et le troisième admettent une solution cohérente.