Exercice 1

Prolongez les suites suivantes et indiquez une méthode permettant de calculer rapidement la valeur du terme numéro 2012.

1. \(2,\ 6,\ 10,\ 14,\ \ldots\)

2. \(15,\ 10,\ 5,\ 0,\ \ldots\)

3. \(4,\ 12,\ 36,\ 108,\ \ldots\)

4. \(1,\ 8,\ 27,\ 64,\ \ldots\)

5. \(100,\ 95,\ 90,\ 85,\ \ldots\)

Réponse

Voici la réponse très courte :

1. 8046
   
2. -10040
   
3. 4 × 3^2011
   
4. 2012^3
   
5. -9955

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Partie a) Suite : \(2,\ 6,\ 10,\ 14,\ \ldots\)

1. Observation :
   On remarque que chaque terme augmente de 4 par rapport au terme précédent. La suite est donc une suite arithmétique.

2. Formule du terme général d’une suite arithmétique :
   \[ a_n = a_1 + (n-1) \times r \] où
   \(\quad a_1 = 2\) (premier terme),
   \(\quad r = 4\) (raison).

3. Calcul du terme numéro 2012 :
   \[ a_{2012} = 2 + (2012-1) \times 4 = 2 + 2011 \times 4. \] Calculons \(2011 \times 4\) :
   \(2011 \times 4 = 8044\).
   Puis, \[ a_{2012} = 2 + 8044 = 8046. \]

4. Méthode de calcul rapide :
   On peut utiliser directement la formule du terme général pour calculer le terme de rang 2012.

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Partie b) Suite : \(15,\ 10,\ 5,\ 0,\ \ldots\)

1. Observation :
   Chaque terme diminue de 5 (la différence entre 15 et 10, 10 et 5, etc.). La suite est une suite arithmétique de raison \(-5\).

2. Formule du terme général :
   \[ a_n = a_1 + (n-1) \times r\,, \] avec
   \(\quad a_1 = 15\),
   \(\quad r = -5\).

3. Calcul du terme numéro 2012 :
   \[ a_{2012} = 15 + (2012-1) \times (-5) = 15 + 2011 \times (-5)\,. \] Calculons \(2011 \times (-5)\) :
   \(2011 \times (-5) = -10055\).
   Donc, \[ a_{2012} = 15 - 10055 = -10040\,. \]

4. Méthode de calcul rapide :
   On utilise encore la formule du terme général de la suite arithmétique.

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Partie c) Suite : \(4,\ 12,\ 36,\ 108,\ \ldots\)

1. Observation :
   Chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par 3. Cela correspond à une suite géométrique.

2. Formule du terme général d’une suite géométrique :
   \[ a_n = a_1 \times q^{\,n-1}\,, \] où
   \(\quad a_1 = 4\) (premier terme) et
   \(\quad q = 3\) (rapport).

3. Calcul du terme numéro 2012 :
   \[ a_{2012} = 4 \times 3^{\,2012-1} = 4 \times 3^{\,2011}\,. \]

4. Méthode de calcul rapide :
   On emploie la formule du terme général d’une suite géométrique pour trouver directement le terme de rang 2012.

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Partie d) Suite : \(1,\ 8,\ 27,\ 64,\ \ldots\)

1. Observation :
   Les nombres 1, 8, 27, 64 sont respectivement \(1^3\), \(2^3\), \(3^3\) et \(4^3\). Autrement dit, il s’agit des cubés des entiers naturels.

2. Formule du terme général :
   \[ a_n = n^3\,. \]

3. Calcul du terme numéro 2012 :
   \[ a_{2012} = 2012^3\,. \]

4. Méthode de calcul rapide :
   On remarque que le n-ième terme est simplement le cube de \(n\). Il suffit donc de calculer \(2012^3\).

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Partie e) Suite : \(100,\ 95,\ 90,\ 85,\ \ldots\)

1. Observation :
   Chaque terme diminue de 5 par rapport au précédent, c’est encore une suite arithmétique.

2. Formule du terme général :
   \[ a_n = a_1 + (n-1) \times r\,, \] avec
   \(\quad a_1 = 100\) et
   \(\quad r = -5\).

3. Calcul du terme numéro 2012 :
   \[ a_{2012} = 100 + (2012-1) \times (-5) = 100 - 2011 \times 5\,. \] Calculons \(2011 \times 5\) :
   \(2011 \times 5 = 10055\).
   Donc, \[ a_{2012} = 100 - 10055 = -9955\,. \]

4. Méthode de calcul rapide :
   On applique directement la formule du terme général pour une suite arithmétique.

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Résumé des réponses

• a) \(a_{2012} = 8046\)
  
• b) \(a_{2012} = -10040\)
  
• c) \(a_{2012} = 4 \times 3^{2011}\)
  
• d) \(a_{2012} = 2012^3\)
  
• e) \(a_{2012} = -9955\)

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Chaque suite est traitée en identifiant d’abord son type (arithmétique ou géométrique) ou sa règle de formation (suite des cubes), puis en appliquant la formule correspondante pour calculer le terme de rang 2012. Cette méthode permet de trouver rapidement la valeur d’un terme donné sans avoir à calculer tous les termes précédents.